История математики. Алгебра и геометрия

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
История математики. Алгебра и геометрия

Содержание

2. Математика…
3. Математика — совокупное название многих математических наук. Сначала математика возникла как одно из направлений философии в
4. Деление истории математики на 4 периода: период зарождения математики как самостоятельной дисциплины – до 6-5 века
5. Историю математики обычно делят на 4 периода 3) период исследования переменных величин – середина 17 в.
6. Историю математики обычно делят на 4 периода 4) период современной математики – с начала 20 в.
7. Владилен Панов | Современная математика и ее творцы 2011 Издательство: МГТУ им. Н. Э. Баумана ISBN:
8. Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические
9. Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает
10. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического
11. Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список
13. Алгебра Предметом алгебры является изучение уравнений и ряда вопросов, которые развились из теории уравнений. В настоящее
14. Геометрия Изучает пространственные свойства предметов, оставляя в стороне все остальные их признаки. Например, резиновый мяч диаметром
15. Алгебра Числовые множества
16. Натуральные числа N N={1,2,3,4,…} – множество натуральных чисел Для выполнения каких алгебраических операций достаточно этих чисел
17. Пример 1 На дорогу от дома до университета и обратно у студента уходит 30 минут на
18. Пример 2 Комната в студенческом общежитии имеет форму квадрата со стороной а=3 м. Какова ее площадь?
19. Целые числа Z Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…} – множество целых чисел (содержит все натуральные числа, и числа, им противоположные
20. Пример 3 Из стипендии в 500 руб. студент в первый же день потратил на товарищеский ужин
21. Пример 4 Получив стипендию 500 руб. студент в первый же день потратил 600 руб. на цветы
22. Рациональные числа Q Q={x ׀ х = p/q, где p ∈ Z, q ∈ N} –
23. Пример 5 Пусть студент получает стипендию в размере 500 руб., магистрант – 750 руб., а аспирант
24. Перефразируем пример 1 На дорогу от дома до университета и обратно у студента уходит 30 минут
25. Запишем эти задачи в виде уравнений
26. Действительные числа R R=(-∞;+∞) – множество действительных чисел, Q⊂R (кроме всех рациональных чисел, содержит иррациональные числа).
27. Степени числа а
28. Логарифм
29. Пример 6 Соотношение 32 = 9 позволяет написать три уравнения: 32 = х; х2 = 9;
30. Пример 6 Но аналогичные уравнения: х2 = 2; 2х = 3 Формальная запись результатов Неизвестно основание
31. Посмотрим на геометрические задачи
32. Диагональ квадрата со стороной a удовлетворяет по теореме Пифагора, уравнению х2 = 2 * а2 (Почему?)
33. Пример 8 Площадь S квадрата со стороной а находится по формуле S = a2 . Какова
34. Из геометрических соображений заключаем, что «в природе» должно быть число, удовлетворяющее уравнению х2 = 2 Это
35. Корень уравнения 2х = 3 , обозначаемый х = log 3, также является иррациональным числом. Это
36. Существует бесконечное множество трансцендентных чисел, их появление связано с операцией предельного перехода, которая в курсе Элементарной
37. Эти термины происходят от греческих корней: «рациональное» - разумно обоснованное, «иррациональное» - то есть нерациональное, недоступно
38. Основные числовые множества: N={1,2,3,4,…} – множество натуральных чисел; Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…} – множество целых чисел (содержит все натуральные
39. –Поскольку любое целое число можно записать в виде обыкновенной дроби, причем не единственным образом, все целые
40. Уравнения Уравнением называется равенство, содержащее, по крайней мере, одно неизвестное (обычно обозначаемое х). Известные в задаче
41. Линейные уравнения с одним неизвестным ах=b , где а, b ∈ R 1. Если а≠0, то
43. Скачать презентацию

Слайд 2

Математика…

Слайд 3

Математика
— совокупное название многих математических наук.
Сначала математика возникла как одно

из направлений философии в области пространственных отношений (землемеренье) и вычислений. Она была необходима для практических потребностей человека считать, вычислять, измерять, исследовать формы и движение физических тел.
Позже математика развилась в сложную и многогранную науку об абстрактных, количественных и качественных соотношениях, формах и структурах.
Но общепринятого определения математики нет..
Термин «математика» происходит от греческого слова μάθημα, что означает «наука, знание, изучение», и греческого μαθηματικός, что означает «любовь к познанию», в целом это приводит к более узкому и техническому (прикладному) значению «математическое исследование», которое использовалось и в античные (классические) времена. Греческое слово μαθηματική τέχνη означает математическое искусство.

Слайд 4

Деление истории математики на 4 периода:
период зарождения математики как
самостоятельной

дисциплины – до 6-5 века до н. э.
Формировались понятия целого и рационального числа, дроби, понятие расстояния, площади, объема, создавались правила действий с числами и простейшие правила для вычисления площадей фигур и объемов тел.
2) период элементарной математики –
от 6-5 в. до н. э. до середины 17 века.
Возникла геометрия. Среди деятелей того времени ученые древней Греции (Фалес, Пифагор, Гиппократ Хиосский, Демокрит, Евдокс, Евклид, Архимед и проч.), Китая (Чжан Цан, Ген Шоу-чан, Цзу Чун-чжи и проч.), Средней Азии (Джемшид ибн-Масуд аль-Каши, Мухаммед бен-Муса аль Хорезми и др.), Индии и позже Западной Европы (Л. Феррари, Н. Тарталья, Дж. Кардано, С. Стевин и др.).

ЕвклидЕвклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля

Слайд 5

Историю математики обычно делят на 4 периода
3) период исследования переменных величин

–
середина 17 в. - Начало 20 в. Изобретен новый метод изучения движения и изменения - дифференциальное исчисление и интегральное исчисление. Возник ряд новых математических наук - теория функций, теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия, вариационное исчисление и др. Н.И. Лобачевский изобрел неевклидову геометрию, М.В. Остроградский сделал выдающиеся открытия в механике, математическом анализе, математической физике, П.Л. Чебышев поспособствовал развитию нового направления в теории функций, сделал значительные открытия в теории чисел, теории вероятностей, механике, приближенном анализе.
В этот период действовали такие выдающиеся ученые, как А. М. Ляпунов, А. А. Марков (старший), Г.Ф. Вороной и многие другие.

Слайд 6

Историю математики обычно делят на 4 периода
4) период современной математики

– с начала 20 в.
Характерные особенности: сознательное и систематическое изучение ВСЕХ возможных типов количественных соотношений и пространственных форм.
В геометрии изучается уже не только трехмерное пространство, но и другие подобные ему пространственные формы. Выдающимися направлениями развития математики этого периода является функциональный анализ, теория множеств, современная алгебра, математическая логика, теория вероятностей, топология и т.д.

Слайд 7

Владилен Панов | Современная математика и ее творцы
2011 Издательство: МГТУ им. Н.

Э. Баумана ISBN: 978-5-7038-3536-4 Жанр: математика,научно-популярные
http://www.math.ru/lib/ser/msch

Слайд 8

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный

язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики — создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту.

Слайд 9

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для

их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные).

Слайд 10

Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно

из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений.

Слайд 11

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала

для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.

Слайд 12

Слайд 13

Алгебра
Предметом алгебры является изучение уравнений и ряда вопросов, которые развились из

теории уравнений.
В настоящее время, когда математика разделилась ряд специальных областей, к области алгебры относят лишь уравнения определенного типа, так называемые алгебраические уравнения.

уравнения

Слайд 14

Геометрия
Изучает пространственные свойства предметов, оставляя в стороне все остальные их признаки.
Например,

резиновый мяч диаметром 25 см и чугунное ядро того же диаметра отличаются друг от друга массой, цветом, упругостью и т.д. Однако форма и размеры одинаковы. С точки зрения геометрии – каждый из этих предметов -шар диаметром 25 см.

Слайд 15

Алгебра
Числовые множества

Слайд 16

Натуральные числа N
N={1,2,3,4,…} – множество натуральных чисел
Для выполнения каких алгебраических операций

достаточно этих чисел (натуральных)?
На этом множестве можно выполнять сложение и умножение.

Слайд 17

Пример 1
На дорогу от дома до университета и обратно у студента

уходит 30 минут на метро и 20 мин на автобусе. Сколько минут тратит он на дорогу каждую неделю, состоящую из 6 рабочих дней?

Слайд 18

Пример 2
Комната в студенческом общежитии имеет форму квадрата со стороной а=3

м. Какова ее площадь?

Слайд 19

Целые числа Z
Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…} – множество целых чисел (содержит все натуральные числа,

и числа, им противоположные и нуль), N⊂Z;
Для выполнения каких алгебраических операций достаточно этих чисел (целых)?
На этом множестве можно выполнять сложение, умножение и вычитание.
Не будь уравнений, не было бы необходимости в отрицательных числах.

Слайд 20

Пример 3
Из стипендии в 500 руб. студент в первый же день

потратил на товарищеский ужин 200 рублей. Сколько денег у него осталось до следующей стипендии?

Слайд 21

Пример 4
Получив стипендию 500 руб. студент в первый же день потратил

600 руб. на цветы для своей подруги, второй же в аналогичной ситуации ограничился духами, стоившими как раз 500 рублей. Сколько денег осталось у каждого из студентов?

Слайд 22

Рациональные числа Q
Q={x ׀ х = p/q, где p ∈ Z,

q ∈ N} – множество рациональных чисел (состоит из чисел, допускающих представление в виде простой дроби), N⊂Z⊂Q;
Для выполнения каких алгебраических операций достаточно этих чисел (рациональных)?
На этом множестве можно выполнять сложение, умножение, вычитание и деление.
Поскольку любое целое число можно записать в виде обыкновенной дроби, причем не единственным образом, все целые числа являются рациональными.
Каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической дроби, пример 7/11 = 0,(63)

Слайд 23

Пример 5
Пусть студент получает стипендию в размере 500 руб., магистрант –

750 руб., а аспирант – 1000 руб. Во сколько раз студент получает меньше аспиранта и магистранта?

Слайд 24

Перефразируем пример 1
На дорогу от дома до университета и обратно у

студента уходит 30 минут на метро и 20 мин на автобусе. Сколько часов тратит он на дорогу каждую неделю, состоящую из 6 рабочих дней?

Слайд 25

Запишем эти задачи в виде уравнений

Слайд 26

Действительные числа R
R=(-∞;+∞) – множество действительных чисел, Q⊂R (кроме всех рациональных

чисел, содержит иррациональные числа). Действительные числа изображаются точками координатной прямой (числовой оси).
Например, эти числа являются иррациональными.
Вспомним, что возведение в степень имеет две обратных операции: извлечение корня и логарифмирование.

Слайд 27

Степени числа а

Слайд 28

Логарифм

Слайд 29

Пример 6
Соотношение 32 = 9 позволяет написать три уравнения: 32 =

х; х2 = 9; 3х = 9
Неизвестна степень – решается уравнение умножением х = 32 = 3*3 = 9
Неизвестно основание степени – извлечением квадратного корня х = √9 = 3
Показатель степени – логарифмированием числа 9 по основанию 3: х = log 9 = 2

Слайд 30

Пример 6
Но аналогичные уравнения: х2 = 2; 2х = 3
Формальная

запись результатов
Неизвестно основание степени – извлечением квадратного корня х = √2
Неизвестен показатель степени – логарифмированием числа 3 по основанию 2: х = log 3
Смысла не имеет на множестве рациональных чисел Q.

Слайд 31

Посмотрим на геометрические задачи

Слайд 32

Диагональ квадрата со стороной a удовлетворяет по теореме Пифагора, уравнению х2

= 2 * а2 (Почему?)
Поэтому при а=1 приходим к уравнению х2 = 2

Пример 7

Слайд 33

Пример 8
Площадь S квадрата со стороной а находится по формуле S

= a2 . Какова сторона х квадрата, площадь S которого равна 2?
Имеем х2 = 2

Слайд 34

Из геометрических соображений заключаем, что «в природе» должно быть число, удовлетворяющее

уравнению х2 = 2
Это число называется иррациональным.
Также иррациональны корни уравнений
х2 = 3 ; х3 = 5 и т.п. Эти иррациональные числа называются алгебраическими.

Слайд 35

Корень уравнения 2х = 3 , обозначаемый
х = log 3, также

является иррациональным числом. Это число и аналогичные ему иррациональные корни уравнений
2х = 5; 3х = 4 и т.д. называются трансцендентными числами. Число π тоже является трансцендентным. π = l / 2*R

Слайд 36

Существует бесконечное множество трансцендентных чисел, их появление связано с операцией предельного

перехода, которая в курсе Элементарной математики фактически не изучается.

Слайд 37

Эти термины происходят от греческих корней: «рациональное» - разумно обоснованное, «иррациональное»

- то есть нерациональное, недоступно пониманию,
«трансцендентное» - выходящее за пределы сознания.

Слайд 38

Основные числовые множества:
N={1,2,3,4,…} – множество натуральных чисел;
Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…} – множество целых чисел

(содержит все натуральные числа и числа, им противоположные), N⊂Z;
Q={x ׀ х = p/q, где p ∈ Z, q ∈ N} – множество рациональных чисел (состоит из чисел, допускающих представление в виде дроби), N⊂Z⊂Q;
R=(-∞;+∞) – множество действительных чисел, Q⊂R (кроме всех рациональных чисел, содержит иррациональные числа). Действительные числа изображаются точками координатной прямой (числовой оси).

Слайд 39

–Поскольку любое целое число можно записать в виде обыкновенной дроби,

причем не единственным образом, все целые числа являются рациональными.
-А, например, эти числа являются иррациональными.

Логарифм 5 по основанию 10 это 100, 6989700 …= 5

Слайд 40

Уравнения
Уравнением называется равенство, содержащее, по крайней мере, одно неизвестное (обычно обозначаемое

х).
Известные в задаче величины обычно обозначают начальными буквами латинского алфавита a, b, c…
Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестное только в первой степени.
ах=b или ах-b=0 , где а, b ∈ R
Решить уравнение – найти все его решения (корни) или показать, что данное уравнение корней не имеет.

Слайд 41

Линейные уравнения с одним неизвестным ах=b , где а, b ∈

1. Если а≠0, то х=b/а будет единственным решением уравнения.
2. Если а=0, то имеем уравнение 0*х=b.
Сделаем предположения относительно b.
А) Если b=0, то решением уравнения 0*х=b будет любое действительное число. Это уравнение имеет бесконечное множество решений.
Б) Если b≠0, то 0*х=b не имеет решений, так как ему не удовлетворяет ни одно действительное число.
Например, уравнение 0*х=5 решений не имеет.
0≠5

История математики. Алгебра и геометрия

Содержание

Математика…

Математика — совокупное название многих математических наук. Сначала математика возникла как одно

Деление истории математики на 4 периода: период зарождения математики как самостоятельной

Историю математики обычно делят на 4 периода3) период исследования переменных величин

Историю математики обычно делят на 4 периода 4) период современной математики

Владилен Панов | Современная математика и ее творцы 2011 Издательство: МГТУ им. Н.

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для

Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала

АлгебраПредметом алгебры является изучение уравнений и ряда вопросов, которые развились из

ГеометрияИзучает пространственные свойства предметов, оставляя в стороне все остальные их признаки.Например,

АлгебраЧисловые множества

Натуральные числа NN={1,2,3,4,…} – множество натуральных чиселДля выполнения каких алгебраических операций

Пример 1На дорогу от дома до университета и обратно у студента

Пример 2Комната в студенческом общежитии имеет форму квадрата со стороной а=3

Целые числа ZZ={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…} – множество целых чисел (содержит все натуральные числа,

Пример 3Из стипендии в 500 руб. студент в первый же день

Пример 4Получив стипендию 500 руб. студент в первый же день потратил

Рациональные числа QQ={x ׀ х = p/q, где p ∈ Z,

Пример 5Пусть студент получает стипендию в размере 500 руб., магистрант –

Перефразируем пример 1На дорогу от дома до университета и обратно у