Kombinatorika. Permutace bez opakování

prvků.
Skupinu, která obsahuje k prvků, nazýváme skupinou k-té třídy.
například:
Tvoříme-li dvojčlenné skupiny z 10 lidí, pak
n = 10, k = 2.
Tvoříme-li trikolóry z pěti různých barev, pak
n = 5, k = 3.

skupinách bez opakování
(v předpisu skupiny se tento fakt neuvádí)
vybíráme-li skupiny z lidí
několikrát (maximálně k-krát),
mluvíme o skupinách s opakováním
například: vždy, když vybíráme skupiny z cifer a není uvedeno, že opakovat nelze

variacích (resp. permutacích)
nezáleží,
mluvíme o kombinacích

funkce , konkrétní medaile
skupiny lidí, které řadíme podle výšky, abecedy, věku,
trikolóru, ...

pořadí prvků ve skupině?
Mohou se prvky ve skupině opakovat?
Z kolika celkových prvků tvořím skupiny?
Kolik prvků vybírám do jedné skupiny?

Řešení slovních úloh

= 0

Faktoriál čísla n, označujeme n!

vybíráme do skupiny, jako počet prvků, z kterých mohu skupinu tvořit.
Permutace množiny, která obsahuje n prvků, je nějaké pořadí, v jakém se dají prvky seřadit.
Například přeskupujeme písmena zadaného slova (slovo šifrujeme, vytváříme jeho anagramy), například: ŠOK → ŠKO, OŠK, KŠO, OKŠ, KOŠ.

Speciální případ variací: k = n

použijí všechna písmena ve slově obsažená a změní se jejich pořadí. Často se přitom nedbá na diakritiku.
Například: KOTEL – LOKET
PEKAŘSTVÍ – PŘÍSTAVEK
Nezapomeňte, že jsou slova, v nichž se písmena neopakují (KOŠ), ale existují také slova, v nichž se písmena vyskytují vícekrát (ALABAMA).

ANAGRAM

se ve výběru nemůže opakovat, je určen vztahem

PERMUTACE

PLOT, b) VCHOD.

Řešení: První slovo je složeno ze čtyř písmen, druhé slovo z písmen pěti a v obou slovech se písmena neopakují.
V přesmyčce nesmíme žádné z písmen vynechat.

Odpověď: Existuje 24 přesmyček slova PLOT a 120 přesmyček slova VCHOD.

postavit do řady 7 lidí.

Řešení: Každý ze sedmi lidí musí zaplatit, tudíž nesmíme nikoho vynechat (k = n).

Odpověď: Existuje 5 040 možností, jak seřadit sedm lidí v řadě u pokladny.

E M I E tak, aby vzniklá přesmyčka obsahovala výraz DEKA.

Řešení: Záměna všech prvků (přesmyčky) ⇒ PERMUTACE.

Odpověď: Existuje 120 hledaných přesmyček.

1. skupina: D E K A
x x x x x x x x

2. skupina: D E K A

3. skupina: D E K A

4. skupina: D E K A

5. skupina: D E K A

na obměnu zbyly
4 znaky: AMIE
⇒ P(4)

Výsledek:

Určete, kolik je možností pro pořadí jejich proslovů.

Určete, kolika způsoby může 10 táborníků při nástupu na ranní rozcvičku nastoupit do řady, v níž bude táborník Aleš stát vždy na kraji řady.

Určete, kolika způsoby se na pětimístné lavici může rozmístit pět chlapců, z nichž dva chtějí sedět vedle sebe.

120

Nejprve necháme nastoupit devět táborníků, Aleše je mimo. Počet těchto seřazení: P(9). Aleše se zařadí buď na levý kraj, nebo na pravý kraj řady.
2.P(9)= 725 760

Dvojici označíme jediným prvkem A, pak se díváme na rozmístění jako na uspořádané čtveřice sestavované z prvků A(dvojice), B, C, D , tedy P(4). Počet všech možných rozmístění chlapců :
P(2) . P(4) = 48