Лекция 2. Элементы математической статистики

величина.

ЗАДАЧА:
изучить законы
распределения иссле-
дуемых случайных величин,
их характеристики,
проверить ряд гипотез,
установить, есть ли между величинами связь.

ОБЛАДАЮЩИХ ДАННЫМ ПРИЗНАКОМ.
ВЫБОРКА – ЧАСТЬ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫБОРКИ – значения изучаемого признака у входящих в выборку объектов.
ОБЪЕМ ВЫБОРКИ N – число элементов в ней.
ВАРИАНТЫ – отличающиеся друг от друга, различные элементы выборки.

должна быть РЕПРЕЗЕНТАТИВНОЙ.
РЕПРЕЗЕНТАТИВНОЙ называется выборка,
верно отражающая основные законо-
мерности генеральной совокупности.
Условия репрезентативности:
случайный отбор
достаточно большой объем

РЯД –
ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫБОРКИ
В ПОРЯДКЕ ИХ ПОЛУЧЕНИЯ.

ИХ ВОЗРАСТАНИЯ (ИЛИ УБЫВАНИЯ).
При этом каждое значение повторяется столько раз, сколько оно встречается в выборке.

Число появлений
данного значения, т.е. варианты, в выборке
называется частотой этой варианты, n.
Отношение частоты
к объему выборки
называется
относительной
частотой варианты,
W = n / N.

УБЫВАНИЯ)
С УКАЗАНИЕМ СООТВЕТСТВУЮЩИХ ЧАСТОТ
ИЛИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЧАСТОТ.

Таблица вариационного ряда
напоминает ряд распределения ДСВ.
Графическим изображением
вариационного ряда является полигон.

... + nk = N

W1 + W2 + ... + Wk = 1,
проявление УСЛОВИЯ НОРМИРОВКИ
в статистике.

оси ординат - частоты ni или относительные частоты Wi.
Точки с координатами (xi, ni) соединяются отрезками прямых.
Полученная ломаная – полигон.

этом случае не пере-
числяют все варианты,
а разбивают вариацион-
ный ряд на несколько
интервалов и указывают
число значений
в каждом из них.

целого числа.
2. Размах распределения:
L = xmax - xmin.

3. Шаг разбиения, или ширина интервала:
h = ∆x = L / m =
xmax - xmin
=
m

только в один интер-
вал, предыдущий или последующий.
[ - граница включа-ется в данный интервал;
( - граница не вклю-чается в интервал.

5. Подсчет частоты n - числа значений, попавших в данный интервал,
и относительной частоты
W = n / N.

прямоугольника - соответствующий интервал,
высота равна частоте или относительной частоте.
Пример.
У 12 больных гриппом,
прошедших предварительно
вакцинацию,
замерили температуру
в первые сутки болезни.
Получены значения – простой статистический ряд:

38,4.
Ранжированный ряд:
37,5; 37,9; 38,1; 38,1; 38,4; 38,4; 38,4; 38,4; 38,4; 38,6; 38,6; 39,0.

= 1,5;
Δx = 1,5 / 3 = 0,5.
Определяем границы первого интервала:
левая граница – x min = 37,5,
правая граница - xmin + 0,5 = 38,0.
Левую границу включаем в первый интервал, правую – нет.
С нее начнется второй интервал.

σв
Мода Мо
Медиана Ме

СРЕДНЯЯ
ВЫБОРОЧНАЯ
вариационного ряда:
Σ xi ni
x =
N
Если все ni =1, то
Σ xi
x =
N

интервалов:
ck = (a + b) / 2 = a + Δx / 2
(a - левая граница интервала,
b - правая граница интервала).

Иными словами,
при вычислении харак-
теристик интервального
ряда его заменяют
(приближенно)
на вариационный вида:

N
Если все ni = 1, то
Σ (xi - x )2
σ2в =
N

интервального ряда:
Σ (ck - xи)2 nk
σ2в =
N
ВЫБОРОЧНОЕ
СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ
ОТКЛОНЕНИЕ
σв = √ σ2в

пополам:
слева от нее столько же элементов,
сколько справа.

В случае четного числа элементов медиана
равна среднему
арифметическому
двух центральных.
Определяется легко по ранжированному ряду.
В нашем примере
Mo = Me = 38,4.

–
числовые
характеристики
исследуемой СВ:
математическое ожидание (средняя генеральная, средняя теоретическая) μ
дисперсия σ2
среднеквадратическое отклонение σ

ИХ ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ -
НАИБОЛЕЕ БЛИЗКИЕ
К НИМ (согласно теории)
ПАРАМЕТРЫ ВЫБОРКИ.
А именно:
точечная оценка
средней теоретической – средняя выборочная,
μ ≈ х

стандартное отклонение, s:
σ ≈ s

Чтобы «исправить»
выборочную дисперсию,
нужно
ввести поправочный коэффициент:
N
s2 = σ2в∙
N-1

N – 1
Σ (ck - xи)2 nk
s2и =
N – 1
Далее s = √s2

Обратите внимание:
точечные оценки –
приблизительные
и
случайные
(так как выборка сделана
из генеральной совокуп-
ности случайным образом, то ее элементы и параметры
можно считать
случайными величинами)

пара-
метра генеральной совокупности –
значит указать
случайный интервал,
который с заданной

вероятностью γ
(гамма) содержит
данный параметр.
Этот интервал называется
ДОВЕРИТЕЛЬНЫМ,
а γ –
ДОВЕРИТЕЛЬНОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ,
или НАДЕЖНОСТЬЮ.

γ,
т.е. вероятность того,
что доверительный интервал НЕ содержит в себе оцениваемый параметр.

Δ , х + Δ).
Здесь Δ – абсолютная погрешность
интервальной оценки μ
по средней выборочной
х.
Но называть ее принято
ТОЧНОСТЬЮ оценки.

В данном случае надежность
γ = P(x – Δ < μ < х + Δ)
- вероятность того, что
доверительный интервал будет содержать в себе
среднюю теоретическую.

γ = 0,95.
Точность Δ рассчитывается по формуле:

ts
Δ =
√ N
Среднюю выборочную и
стандартное отклонение
находим по выборке.

= 2Ф (t) – 1.
Отсюда
2Ф (t) = 1+ γ,
1+ γ
Ф (t) =
2

Зная Ф (t),
по таблицам нормального распределения
находим t.
Так,
если γ = 0,95, то
Ф (t) = 0,975
и t ≈ 2.

таблицей
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА.
Значение t в таблице этого распределения находят по заданным N и γ.

Запишем
АЛГОРИТМ
построения
доверительного
интервала
для средней
теоретической
нормально
распределенной
величины.

(t) в таблице найти значение t.
Рассчитать точность Δ оценки μ по х.

5. Записать ответ в виде:
х - Δ < μ < х + Δ.
Возможна краткая запись
μ = x ± Δ