Линейная алгебра. Матрицы и их свойства

размера m×1:

В квадратной матрице

элементы a11, a22,…ann образуют главную диагональ, а элементы an1, an-1 2,…a1n – побочную диагональ матрицы.

0).

5. Квадратная матрица называется единичной.

4. Диагональной матрицей называется квадратная матрица, в которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны 0.

6. Матрица –А(mxn) называется матрицей противоположной матрице А (mxn).

~

размерности равны, если у них равны элементы, расположенные на соответствующих местах.

2. Сложение
Суммой двух матриц A и B одинаковой размерности называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Для того, чтобы найти разность матриц одинаковой размерности А и В нужно из каждого элемента матрицы А вычесть соответствующий элемент матрицы В.

С = А + (В + С)
А + 0 = А
А + (–А) = 0

~

~

называется матрица той же размерности, полученная из матрицы А умножением всех элементов на число λ.

Пример: Пусть

тогда

Свойства:
1 ·А = А
(λ+μ) ·А = λ·А +μ ·А
λ·(А + В) = λ·А + λ ·В
(λ · μ) ·А = λ · (μ · А) = μ · (λ · А)

число, равное сумме произведений соответствующих элементов А и В:

.

С (m×k) , элементы сij которой равны сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на j-ый столбец матрицы В:

5. Умножение двух матриц

= А · В + А · С
(В + С) · А = В · А + С · А
(А · В) · С = А · (В · С)
А · 0 = 0, 0 · А = 0
А · Е = А, Е· А = А

~

~

~

~

· A

Свойства:
А0 = Е, если матрица А невырожденная
Аp · Аq = Аp+q
(Аp)q = Аpq