Математические модели в экономике

Август 22, 2022

Главная
Математика
Математические модели в экономике

Содержание

2. Математические модели в экономике – научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления
3. Управление любой системой характеризуется как процесс, подчиняющийся определенным закономерностям. Цель – количественное обоснование параметров, характеризующих исследуемый
4. При решении конкретной задачи управления применение математических методов предполагает: Построение математических и экономических моделей для задач
5. Пример. Для обеспечения высокого качества выпускаемых изделий на заводе организуется система выборочного контроля. Требуется выбрать такие
6. Пример. Для реализации определенной партии сезонных товаров создается сеть временных торговых точек. Требуется выбрать параметры сети
7. В каждом случае речь идет о каком-то управляемом мероприятии (операции), преследующем определенную цель. Заданы некоторые условия
8. Операция – любое управляемое мероприятие, направленное на достижение целей. Результат операции зависит от способа ее проведения,
9. Структура любой проблемы оптимального выбора определяется наличием следующих основных логических элементов: цели или ряда целей, достижение
10. способов оценки затрат ресурсов, требующихся для каждого альтернативного средства; способа отображения связей между целями, альтернативами и
11. критерия ( критериев) эффективности, сопоставляющих цели и затраты и устанавливающих наиболее предпочтительное решение;
12. Для решения этих задач используют методы экономико-математического моделирования.
13. Понятие экономико-математической модели
14. Под моделированием понимается исследование объектов познания косвенным путем при помощи анализа некоторых других вспомогательных объектов. Такие
15. Модель – это условный образ какого-либо объекта, приближенно воссоздающий этот объект с помощью некоторого языка.
16. В экономико-математических моделях таким объектом является экономический процесс (например, использование ресурсов, выпуск продукции и т.д.), а
17. Экономико-математическая модель – это описание экономического объекта или процесса при помощи математических методов. Эта модель выражает
18. Цель использования математического моделирования в экономике- углубление количественного экономического анализа, расширение области экономической информации, упрощение экономических
19. Этапы проведения экономико-математического моделирования: 1. Ставятся цели и задачи исследования, проводится качественное описание объекта в виде
20. 2. Формируется математическая модель изучаемого объекта, осуществляется выбор (или разработка) методов исследования, подготавливается исходная информация. 3.
21. Процедура экономико-математического моделирования заменяет дорогостоящие и трудоемкие натуральные эксперименты расчетами.
22. Во многих областях экономики возникает необходимость оптимизировать параметры процессов, объектов планирования и управления системами, что требует
23. Факторы, входящие в описание моделей можно разделить на две группы: постоянные факторы, обозначим их через α1
24. В результате решения требуется определить оптимум некоторой функции (её минимум или максимум). Такая функция, зависящая от
25. Общая постановка оптимизационной задачи формулируется в виде: найти переменные х1, х2 …. xn, удовлетворяющие системе неравенств
26. и обращающие в максимум (или минимум) целевую функцию:
27. В тех случаях, когда функции f и ϕ в задаче оптимизации дважды дифференцируемы, можно применять классические
28. Однако применение этих методов весьма ограничено, так как задача определения экстремума функции n переменных технически трудна:
29. Если критерии эффективности Представляет собой линейную функцию,
30. а функции в системе ограничений также линейны, то такая задача является задачей линейного программирования.
31. Если критерий эффективности и (или) система ограничений задаются нелинейными функциями, то имеем задачу нелинейного программирования.
32. В частности, если указанные функции обладают свойствами выпуклости, то получаем задачу выпуклого программирования.
33. Если в задаче математического программирования имеется переменная времени и критерий эффективности выражается не в явном виде,
34. Имеются и другие методы математического программирования (стохастическое, целочисленное, дискретное и др.). Из них наиболее распространенным и
35. Основная задача линейного программирования
36. Задача линейного программирования формулируется так: найти неотрицательные значения переменных которые удовлетворяют системе линейных уравнений (неравенств)
38. и обращают в минимум (максимум) линейную функцию
39. Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства)
40. Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют 4 вида ресурсов S1 , S2 ,
42. Прибыль, полученная от единицы продукции Р1 и Р2, - соответственно 2 и 3 руб. Необходимо составить
43. Составим экономико-математическую модель задачи.
44. Обозначим х1 и х2 – число единиц продукции соответственно Р1 и Р2, запланированных к производству. Сразу
45. Ресурса S1 хватит для изготовления одной единицы продукции Р1 и трех единиц продукции Р2 . Следовательно,
47. Рассуждая аналогичным образом далее, получим следующую систему неравенств:
48. Составим формулу для нахождения суммарной прибыли F. Суммарная прибыль F составит 2х1 руб. от реализации продукции
49. Итак, экономико-математическая модель задачи: найти такой план выпуска продукции, удовлетворяющих системе неравенств, при котором функция F
50. Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях)
51. Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S1 , S2 , S3.
53. Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 3 и 7 руб. Необходимо составить дневной
54. Составим экономико-математическую модель задачи. Пусть х1 и х2 – количество кормов I и II, входящих в
55. Тогда количество питательного вещества S1 в данном количестве кормов I и II будет находиться по формуле:
56. С другой стороны, количество питательного вещества S1 должно быть не менее 9. Следовательно
57. Рассуждая аналогичным способом, получим систему ограничений:
60. Скачать презентацию

Слайд 2

Математические модели в экономике – научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим

применением методов наиболее эффективного управления различными организационными системами

Слайд 3

Управление любой системой характеризуется как процесс, подчиняющийся определенным закономерностям.
Цель – количественное

обоснование параметров, характеризующих исследуемый процесс, для грамотного принятия управленческих решений

Слайд 4

При решении конкретной задачи управления применение математических методов предполагает:
Построение математических и

экономических моделей для задач принятия решения в сложных ситуациях и в условиях неопределенности;
Изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии принятие решений, и установление критериев эффективности, позволяющих оценивать преимущество того или иного варианта действий

Слайд 5

Пример. Для обеспечения высокого качества выпускаемых изделий на заводе организуется система

выборочного контроля. Требуется выбрать такие формы его организации (назначить размеры контрольных партий, указать последовательность контрольных операций, определить правила отбраковки), чтобы обеспечить необходимое качество при минимальных расходах

Слайд 6

Пример. Для реализации определенной партии сезонных товаров создается сеть временных торговых

точек. Требуется выбрать параметры сети – число точек, их размещение, количество персонала – так, чтобы обеспечить максимальную экономическую эффективность распродажи.

Слайд 7

В каждом случае речь идет о каком-то управляемом мероприятии (операции), преследующем

определенную цель. Заданы некоторые условия проведения данного мероприятия, в рамках которых необходимо принять решение – такое, чтобы мероприятие принесло определенную выгоду.

Слайд 8

Операция – любое управляемое мероприятие, направленное на достижение целей. Результат операции

зависит от способа ее проведения, то есть от выбора некоторых параметров.
Всякий определенный выбор параметров называют решением. Оптимальными считают те решения, которые предпочтительнее других. Поэтому основная задача – предварительное количественное обоснование оптимальных решений

Слайд 9

Структура любой проблемы оптимального выбора определяется наличием следующих основных логических элементов:
цели

или ряда целей, достижение которых означает решение проблемы
альтернативных средств (курсов действий) при помощи которых может быть достигнута цель (цели)

Слайд 10

способов оценки затрат ресурсов, требующихся для каждого альтернативного средства;
способа отображения связей

между целями, альтернативами и затратами;

Слайд 11

критерия ( критериев) эффективности, сопоставляющих цели и затраты и устанавливающих наиболее

предпочтительное решение;

Слайд 12

Для решения этих задач используют методы экономико-математического моделирования.

Слайд 13

Понятие экономико-математической модели

Слайд 14

Под моделированием понимается исследование объектов познания косвенным путем при помощи анализа

некоторых других вспомогательных объектов.
Такие вспомогательные объекты называются моделями.

Слайд 15

Модель – это условный образ какого-либо объекта, приближенно воссоздающий этот объект

с помощью некоторого языка.

Слайд 16

В экономико-математических моделях таким объектом является экономический процесс (например, использование ресурсов,

выпуск продукции и т.д.), а языком – классические и специально разработанные математические методы.

Слайд 17

Экономико-математическая модель – это описание экономического объекта или процесса при помощи

математических методов.
Эта модель выражает закономерности экономического процесса в абстрактном виде с помощью математических соотношений.

Слайд 18

Цель использования математического моделирования в экономике- углубление количественного экономического анализа, расширение

области экономической информации, упрощение экономических расчетов.

Слайд 19

Этапы проведения экономико-математического моделирования:
1. Ставятся цели и задачи исследования, проводится качественное

описание объекта в виде экономической модели.

Слайд 20

2. Формируется математическая модель изучаемого объекта, осуществляется выбор (или разработка) методов

исследования, подготавливается исходная информация.
3. Осуществляется анализ математической модели, проведение машинных расчетов, обработка и анализ полученных результатов.

Слайд 21

Процедура экономико-математического моделирования заменяет дорогостоящие и трудоемкие натуральные эксперименты расчетами.

Слайд 22

Во многих областях экономики возникает необходимость оптимизировать параметры процессов, объектов планирования

и управления системами, что требует построения так называемых оптимизационных моделей.

Слайд 23

Факторы, входящие в описание моделей можно разделить на две группы:
постоянные факторы,

обозначим их через α1 α2:
зависимые факторы х1, х2 которые в известных пределах выбираются по усмотрению исследователя и связаны функциями f (х1, х2 …. xn)

Слайд 24

В результате решения требуется определить оптимум некоторой функции (её минимум или

максимум).
Такая функция, зависящая от факторов обеих групп, называется целевой функцией (критерием эффективности) и обозначается

Слайд 25

Общая постановка оптимизационной задачи формулируется в виде:
найти переменные х1, х2

…. xn, удовлетворяющие системе неравенств (уравнений)

Слайд 26

и обращающие в максимум (или минимум) целевую функцию:

Слайд 27

В тех случаях, когда функции f и ϕ в задаче оптимизации

дважды дифференцируемы, можно применять классические методы оптимизации, связанные с нахождением частных производных второго порядка этих функций, приравниванием их к нулю и решением систем некоторых уравнений.

Слайд 28

Однако применение этих методов весьма ограничено, так как задача определения экстремума

функции n переменных технически трудна: метод дает возможность определить локальный экстремум, а из-за многомерности функции определение ее абсолютного максимального (или минимального) значения (глобального экстремума) может оказаться весьма трудоемким - тем более, что этот экстремум возможен на границе области решений.
В этих случаях для решения задачи применяются методы математического программирования.

Слайд 29

Если критерии эффективности
Представляет собой линейную функцию,

Слайд 30

а функции
в системе ограничений также линейны, то такая задача

является задачей линейного программирования.

Слайд 31

Если критерий эффективности и (или) система ограничений задаются нелинейными функциями, то

имеем задачу нелинейного программирования.

Слайд 32

В частности, если указанные функции обладают свойствами выпуклости, то получаем задачу

выпуклого программирования.

Слайд 33

Если в задаче математического программирования имеется переменная времени и критерий эффективности

выражается не в явном виде, а косвенно - через уравнения, описывающие протекание процессов во времени, то такая задача относится к динамическому программированию.

Слайд 34

Имеются и другие методы математического программирования (стохастическое, целочисленное, дискретное и др.).

Из них наиболее распространенным и разработанным является линейное программирование.
В его рамки укладывается широкий круг практических оптимизационных задач.

Слайд 35

Основная задача линейного программирования

Слайд 36

Задача линейного программирования формулируется так: найти неотрицательные значения переменных
которые удовлетворяют системе

линейных уравнений (неравенств)

Слайд 37

Слайд 38

и обращают в минимум (максимум) линейную функцию

Слайд 39

Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства)

Слайд 40

Для изготовления двух видов продукции Р1 и Р2 используют 4 вида

ресурсов
S1 , S2 , S3 и S4 .
Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице (цифры условные).

Слайд 41

Слайд 42

Прибыль, полученная от единицы продукции Р1 и Р2, - соответственно 2

и 3 руб.
Необходимо составить план производства, при котором прибыль от реализации будет максимальной.

Слайд 43

Составим экономико-математическую модель задачи.

Слайд 44

Обозначим х1 и х2 – число единиц продукции соответственно Р1 и

Р2, запланированных к производству.
Сразу оговоримся, что х1 и х2 – принимают неотрицательные значения .

Слайд 45

Ресурса S1 хватит для изготовления одной единицы продукции Р1 и трех

единиц продукции Р2 .
Следовательно, для изготовления обоих видов продукции потребуется х1+ 3х2 единиц ресурса S1 .
Но с другой стороны, запас ресурса S1 ограничен и равен 18. Таким образом, получаем первое неравенство в системе:

Слайд 46

Слайд 47

Рассуждая аналогичным образом далее, получим следующую систему неравенств:

Слайд 48

Составим формулу для нахождения суммарной прибыли F.
Суммарная прибыль F составит

2х1 руб. от реализации продукции Р1 и 3х2 руб. – от реализации продукции Р2, т.е.

Слайд 49

Итак, экономико-математическая модель задачи: найти такой план выпуска продукции, удовлетворяющих системе

неравенств, при котором функция F принимает максимальное значение.

Слайд 50

Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях)

Слайд 51

Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины)

S1 , S2 , S3.
Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице (цифры условные).

Слайд 52

Слайд 53

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 3

и 7 руб.
Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не менее установленного предела.

Слайд 54

Составим экономико-математическую модель задачи.
Пусть х1 и х2 – количество кормов I

и II, входящих в дневной рацион. Сразу оговоримся, что х1 и х2 принимают неотрицательные значения.

Слайд 55

Тогда количество питательного вещества S1 в данном количестве кормов I и

II будет находиться по формуле:

Слайд 56

С другой стороны, количество питательного вещества S1 должно быть не менее

9. Следовательно

Слайд 57

Рассуждая аналогичным способом, получим систему ограничений:

Слайд 58