Содержание
- 2. Назначение курса Математический анализ является фундаментальной дисциплиной, составляющей основу математического образования. Курс предназначен для ознакомления студентов
- 3. Цели преподавания дисциплины Развитие интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому мышлению; Обучение основным математическим методам,
- 4. Литература Основная литература: Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, т. 1, 2.- М.: высшая школа, 1981
- 5. Литература Дополнительная литература: Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики.-М.: Наука, 1978. Учебно-методические
- 6. Пределы функций
- 7. Определение функции Если каждому элементу х∈Х поставлен в соответствие единственный элемент у=f(х) ∈ У ,где Х
- 8. Определение предельной точки δ-окрестностью точки а называется интервал (а–δ,а+δ), не содержащий точку а, т.е. О (а,
- 9. Точку а мы будем называть предельной точкой множества X, если в любой δ -окрестности точки а
- 10. Определение предела Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или при x→а), если для
- 11. Другое определение предела Говорят, что число А является пределом функции f(x) при x→а, если для ∀
- 12. Утверждение эквивалентно следующему: ⎪f(x) – A⎪ ∆, где ∆ = ∆(ε) зависит от ε и по
- 13. Геометрическая иллюстрация а А а-δ а+δ А+ε А-ε Y=f(x) х у о
- 14. Приведем еще один рисунок, поясняющий определение предела. а А А+ε А-ε а-δ а+δ х у У=f(x)
- 15. На этом рисунке изображена функция, которая в точке а не имеет предела. а х у 0
- 16. Односторонние пределы
- 17. Односторонние пределы Любой интервал (α, а), правым концом которого является точка а, называется левой окрестностью точки
- 18. Односторонние пределы Символически запись означает, что х стремится к а справа, оставаясь большим а, то есть
- 19. Односторонние пределы будем называть левосторонним пределом функции (при слева), - это правосторонний предел функции.
- 20. Односторонние пределы Теорема о существовании предела Функция у = f(х) имеет в том и только том
- 21. Бесконечно малые и бесконечно большие
- 22. Функция α(x) называется бесконечно малой при х→а, если Ясно, что тогда ⎪α(x)⎪ ∠ ε для всех
- 23. Функция f(х) называется бесконечно большой при если . Это равносильно тому, что каким бы ни было
- 24. Лемма. Если f(х)→∞ при х→а, →0 при х→а. Если α (x) → 0 при x→ a,
- 25. Свойства бесконечно малых. Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при x → а функций
- 26. Теорема 2. Произведение конечного числа бесконечно малых при x → a функций есть бесконечно малая при
- 27. Теорема 3. Произведение бесконечно малой при x→a функции на функцию, ограниченную при x → a, есть
- 28. Следствие. Целая положительная степень бесконечно малой при x → a функции α(x) есть бесконечно малая при
- 29. Если , то в силу определения предела функции получаем: ⎪f(x)-A⎪ x∈ O(а,δ), что означает, что f(x)
- 30. Тогда, полагая f(x)-A=α(x), получим: f(x) = A + α(x), где α(x) → 0 при x →
- 31. Теоремы о пределах
- 32. Теорема. Если функция f(х) = с постоянна в некоторой окрестности точки а, то Теорема. Если f(х)
- 33. Функция f(х) называется ограниченной на данном множестве Х, если существует такое положительное число М, что |f(х)|
- 34. Лемма. Если функция f(х) имеет предел А при х→а, то она ограничена в некоторой окрестности точки
- 35. Теорема 1. Если в точке а существуют пределы функций f(x) и g(x), то в этой точке
- 36. Теорема 2. Если в точке а существуют пределы функций f (x) и g (x), то существует
- 37. Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
- 38. Теорема 3. Если в точке а существуют пределы функций f(х) и g (x) и при этом
- 39. Пример Найти . По теореме о пределе частного
- 40. Пример Найти Преобразуем данную функцию так, чтобы выделить в числителе и знаменателе множитель , на который
- 41. Пример Найти Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на
- 42. Пример Еще один пример. Вычислить Положим .
- 43. Признаки существования предела «Теорема о двух милиционерах» куда они меня тащут?
- 44. Теорема (о промежуточной функции). Пусть в некоторой окрестности О (а) точки а функция f(x) заключена между
- 45. Первый замечательный предел Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах,
- 46. Первый замечательный предел Это объясняется тем, что бесконечно малая дуга почти не успевает изменить свое направление,
- 47. Второй замечательный предел Второй замечательный предел: или или
- 48. Примеры Вычислим =
- 49. Примеры Найти Полагая , получим: =
- 50. Сравнение бесконечно малых Две бесконечно малые при х→а функции α(х) и β(х) называются бесконечно малыми одинакового
- 51. Две бесконечно малые при х→а функции α(х) и β(х) называются эквивалентными при х→а, если . Это
- 52. Бесконечно малая при х→а функция α(х) называется функцией более высокого порядка по сравнению с функцией β(х)
- 53. Приведем некоторые замечательные примеры в дополнение к первому и второму замечательным пределам.
- 55. Скачать презентацию