Матрицы. Определители и их свойства (лекция № 1)

Июль 23, 2022

Главная
Математика
Матрицы. Определители и их свойства (лекция № 1)

Содержание

2. План лекции: Введение. Понятие матрицы. Операции с матрицами. Определители, их свойства. Обратная матрица. Характеристическое уравнение матриц.
3. Введение Широкое использование математических методов в современном мире требует от будущего психолога умения применять их при
4. Введение В современной науке возникли новые направления, такие, например, как математическая лингвистика, математическая биология, математическая экономика
5. Введение Объектами исследования математики служат логические модели, построенные для описания процессов, происходящих в обществе, природе, технике,
6. Введение Применение математических методов расширяет возможности каждого специалиста. Существенную роль играет раздел математической статистики, которая учит
7. Введение Любой психолог, как и математик, должен уметь рассуждать логически, применять на практике дедуктивный и индуктивный
8. Матрица это система элементов aij расположенных в виде прямоугольной таблицы. Элементы могут быть числами, функциями или
9. Матрица Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят о (m × n)-матрице. m
10. Матрица Первый индекс элемента матрицы указывает номер строки, а второй – номер столбца
11. Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний. При m=n
12. Единичная матрица – частный случай диагональной матрицы, в которой все элементы, находящиеся на главной диагонали, равны
13. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей или нуль-матрицей.
14. Матрица, состоящая из одной строки, называется строкой (строковой), из одного столбца — столбцом. Если все ai
15. Транспонирование матрицы Переставив в матрице строки со столбцами,получают транспонированную матрицу A’, или AT.
16. Транспонирование матрицы Например:
17. Наряду с конечными матрицами могут быть матрицы с бесконечным числом строк или столбцов
18. Действия над матрицами Умножение матрицы на число. Произведением прямоугольной (m × n)-матрицы А на число называют
19. Например:
20. Сложение матриц Сумма прямоугольных матриц одинакового размера равна: Например:
21. Умножение матриц определяется только для прямоугольных матриц таких, что число столбцов первого множителя равно числу строк
22. Найти произведение матриц:
23. Введённые действия над матрицами обладают свойствами, близкими к свойствам действий над числами. Исключением является отсутствие коммутативного
24. Найти произведение матриц: И
25. Свойства действия умножения матриц 1.(AB)C = A(BC) - ассоциативность умножения 2.(kA)B = A(kB) = k(AB) 3.
26. Определители Пусть дана квадратная матрица второго порядка Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число: a11a22
27. Определитель обозначается символом detA, Δ; числа - a11,a12,a21a22 называются элементами определителя; a11,a22 – образуют главную диагональ,
28. Свойства определителей Определитель матрицы не меняется, если строки и столбцы меняются местами (транспонирование)
29. Свойства определителей Сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) на их алгебраические дополнения равна определителю матрицы.
30. Свойства определителей Если в определители поменять местами две его любые строки (два любых столбца), то определитель
31. Свойства определителей Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя. Определитель не изменится,
32. Минор Минор Мij элемента аij - определитель полученный в результате вычеркивания i–й строки и j- го
33. Пример Дана матрица Матрица миноров имеет вид Находим минор для первого элемента. Оставшееся число и является
34. Алгебраическое дополнение Минор Мij умноженный на называется алгебраическим дополнением Аij элемента аij
35. Для рассмотренного примера Для второй матрицы необходимо поменять знаки у выделенных членов
36. Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:
37. Обратная матрица Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц. Если A – квадратная матрица, то
38. Найти определитель матрицы ІAІ. Найти алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы A и составить матрицу A′
39. Пример: найти обратную матрицу Находим определитель матрицы: ІАІ =1·4 – 2·3 = – 2 Находим матрицу
40. Тест Порядок прямоугольной матрицы, имеющей m строк и n столбцов равен 1. (m x n) 2.
41. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с.81-89. Павлушков
43. Скачать презентацию

Слайд 2

План лекции:
Введение.
Понятие матрицы.
Операции с матрицами.
Определители, их свойства.
Обратная матрица.
Характеристическое уравнение матриц.

Слайд 3

Введение
Широкое использование математических методов в современном мире требует от будущего психолога

умения применять их при работе с информацией и количественной обработке результатов исследований. Преподавание математики имеет большое значение в формировании научного мировоззрения и развитии научного мышления студентов.

Слайд 4

Введение
В современной науке возникли новые направления, такие, например, как математическая лингвистика,

математическая биология, математическая экономика и т.п. Главная причина такого явления заключается в том, что математика предлагает общие, но вместе с тем очень четкие логические модели для изучения окружающей действительности на основе своего особого языка – языка чисел и символов.

Слайд 5

Введение
Объектами исследования математики служат логические модели, построенные для описания процессов, происходящих

в обществе, природе, технике, живых организмах. Математические модели дают возможность прогнозировать явления с количественной точки зрения, находить не обнаруженные ранее закономерности, определять условия, при которых возможно решение теоретических и практических задач.

Слайд 6

Введение
Применение математических методов расширяет возможности каждого специалиста. Существенную роль играет раздел

математической статистики, которая учит правильно обрабатывать информацию, оценить достоверность полученных данных, сделать прогноз на основании имеющихся наблюдений.

Слайд 7

Введение
Любой психолог, как и математик, должен уметь рассуждать логически, применять на

практике дедуктивный и индуктивный методы. Поэтому математика так важна для специалистов-медиков. Занимаясь математикой, будущий специалист формирует свое профессиональное мышление.

Слайд 8

Матрица это система элементов aij расположенных в виде прямоугольной таблицы. Элементы

могут быть числами, функциями или иными величинами, над которыми можно производить алгебраические операции

Слайд 9

Матрица
Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят о

(m × n)-матрице.

m = 4; n =3 m × n = 12

Слайд 10

Матрица
Первый индекс элемента матрицы указывает номер строки, а второй – номер

столбца

Слайд 11

Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы

в правый нижний. При m=n матрица называется квадратной, а число n — её порядком. Квадратная матрица А называется диагональной, если все ее элементы, кроме находящихся на главной диагонали, равны нулю.

Слайд 12

Единичная матрица
– частный случай диагональной матрицы, в которой все элементы,

находящиеся на главной диагонали, равны 1.

Слайд 13

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей или нуль-матрицей.

Слайд 14

Матрица, состоящая из одной строки, называется строкой (строковой), из одного столбца

— столбцом.
Если все ai = a, получают скалярную матрицу.

Слайд 15

Транспонирование матрицы
Переставив в матрице строки со столбцами,получают транспонированную матрицу A’,

или AT.

Слайд 16

Транспонирование матрицы
Например:

Слайд 17

Наряду с конечными матрицами могут быть матрицы с бесконечным числом строк

или столбцов

Слайд 18

Действия над матрицами
Умножение матрицы на число. Произведением прямоугольной (m ×

n)-матрицы А на число называют матрицу, элементы которой получены из элементов aij умножением на число k:

Слайд 19

Например:

Слайд 20

Сложение матриц
Сумма прямоугольных матриц одинакового размера равна:
Например:

Слайд 21

Умножение матриц определяется только для прямоугольных матриц таких, что число столбцов

первого множителя равно числу строк второго. Произведением (m × р) - матрицы А на (р × n) - матрицу В будет (m × n)-матрица С с элементами
cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + aipbpj,
i =1, ..., m, j = 1, ..., n.

Слайд 22

Найти произведение матриц:

Слайд 23

Введённые действия над матрицами обладают свойствами, близкими к свойствам действий над

числами. Исключением является отсутствие коммутативного закона при умножении матриц: равенство AB = BA может не выполняться.
Матрицы А и В называются коммутирующими (перестановочными), если AB = BA. Кроме того, произведение двух матриц может равняться нулевой матрице, хотя каждый сомножитель отличен от нулевой.

Слайд 24

Найти произведение матриц:
И

Слайд 25

Свойства действия умножения матриц
1.(AB)C = A(BC) - ассоциативность умножения
2.(kA)B =

A(kB) = k(AB)
3.
4.

Слайд 26

Определители
Пусть дана квадратная матрица второго порядка
Определителем второго порядка, соответствующим

данной матрице,
называется число: a11a22 – a12a21.

Слайд 27

Определитель обозначается символом detA, Δ;
числа - a11,a12,a21a22 называются элементами определителя;

a11,a22 – образуют главную диагональ, а a12,a21 – побочную. Следовательно чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов второй диагонали.

Δ=

Слайд 28

Свойства определителей
Определитель матрицы не меняется, если строки и столбцы меняются местами

(транспонирование)

Слайд 29

Свойства определителей
Сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) на их алгебраические

дополнения равна определителю матрицы.
Определитель равен 0, если все элементы какой либо его строки (столбца) равны 0

Слайд 30

Свойства определителей
Если в определители поменять местами две его любые строки (два

любых столбца), то определитель изменит знак на противоположный.
Определитель, содержащий две одинаковых строки (два одинаковых столбца), равен нулю.

Слайд 31

Свойства определителей
Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак

определителя.
Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число.

Слайд 32

Минор
Минор Мij элемента аij - определитель полученный в результате вычеркивания i–й

строки и j- го столбца матрицы
Матрица миноров имеет такой размер, как и матрица А
Например:

Слайд 33

Пример
Дана матрица Матрица миноров имеет вид
Находим минор для первого

элемента.
Оставшееся число и является минором
данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров.
По аналогии находим другие миноры

Слайд 34

Алгебраическое дополнение
Минор Мij умноженный на называется алгебраическим дополнением Аij элемента аij

Слайд 35

Для рассмотренного примера
Для второй матрицы необходимо поменять знаки у выделенных членов

Слайд 36

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число,

обозначаемое и получаемое следующим образом:
Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Слайд 37

Обратная матрица
Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.
Если A

– квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A-1 и удовлетворяющая условию

Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Слайд 38

Найти определитель матрицы ІAІ.
Найти алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы A

и составить матрицу A′ , элементами которой являются числа Aij.
Найти матрицу, транспонированную полученной матрице AT, и умножить её на

Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:

Слайд 39

Пример: найти обратную матрицу
Находим определитель матрицы: ІАІ =1·4 – 2·3 =

– 2

Находим матрицу миноров:

Алгебраическое дополнение (меняем знак у 2-х членов):

Транспонируем матрицу дополнений:

Обратная матрица:

Слайд 40

Тест
Порядок прямоугольной матрицы, имеющей m строк и n столбцов равен
1.

(m x n)
2. (m+n)
3. (m)
4. (n)

Слайд 41

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА:
Основная литература:
Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс,

2005, с.81-89.
Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, 2007.
Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, 2009.

Матрицы. Определители и их свойства (лекция № 1)

Содержание

План лекции:Введение.Понятие матрицы.Операции с матрицами.Определители, их свойства.Обратная матрица. Характеристическое уравнение матриц.

ВведениеШирокое использование математических методов в современном мире требует от будущего психолога

ВведениеВ современной науке возникли новые направления, такие, например, как математическая лингвистика,

ВведениеОбъектами исследования математики служат логические модели, построенные для описания процессов, происходящих

ВведениеПрименение математических методов расширяет возможности каждого специалиста. Существенную роль играет раздел

ВведениеЛюбой психолог, как и математик, должен уметь рассуждать логически, применять на

Матрица это система элементов aij расположенных в виде прямоугольной таблицы. Элементы

МатрицаЕсли матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят о

МатрицаПервый индекс элемента матрицы указывает номер строки, а второй – номер

Главной диагональю матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы

Единичная матрица – частный случай диагональной матрицы, в которой все элементы,

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей или нуль-матрицей.

Матрица, состоящая из одной строки, называется строкой (строковой), из одного столбца

Транспонирование матрицы Переставив в матрице строки со столбцами,получают транспонированную матрицу A’,

Транспонирование матрицы Например:

Наряду с конечными матрицами могут быть матрицы с бесконечным числом строк

Действия над матрицами Умножение матрицы на число. Произведением прямоугольной (m ×

Например:

Сложение матриц Сумма прямоугольных матриц одинакового размера равна:Например:

Умножение матриц определяется только для прямоугольных матриц таких, что число столбцов

Найти произведение матриц:

Введённые действия над матрицами обладают свойствами, близкими к свойствам действий над

Найти произведение матриц:И

Свойства действия умножения матриц 1.(AB)C = A(BC) - ассоциативность умножения2.(kA)B =

Определители Пусть дана квадратная матрица второго порядка Определителем второго порядка, соответствующим

Определитель обозначается символом detA, Δ; числа - a11,a12,a21a22 называются элементами определителя;

Свойства определителейОпределитель матрицы не меняется, если строки и столбцы меняются местами

Свойства определителейСумма произведений элементов любой строки (любого столбца) на их алгебраические

Свойства определителейЕсли в определители поменять местами две его любые строки (два

Свойства определителейОбщий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак

МинорМинор Мij элемента аij - определитель полученный в результате вычеркивания i–й

ПримерДана матрица Матрица миноров имеет вид Находим минор для первого

Алгебраическое дополнениеМинор Мij умноженный на называется алгебраическим дополнением Аij элемента аij

Для рассмотренного примера Для второй матрицы необходимо поменять знаки у выделенных членов