Метод вариации произвольных постоянных. (Лекция 2.12)

Июль 30, 2022

Главная
Математика
Метод вариации произвольных постоянных. (Лекция 2.12)

Содержание

2. Далее везде примем обозначение Т.к. определению подлежат две функции то одним соотношением между ними распорядимся произвольно.
4. Пример.
5. 12.3.7 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка. Выше изложенное переносится на дифференциальные уравнения порядка (**) где -
6. Линейно независимые системы функций. Рассмотрим систему функций Линейной комбинацией их будет где - постоянные. Определение. Система
7. Если не есть линейно независимые функции, то они линейно зависимы. Пример.
8. Теорема. Если суть частных линейно независимых решений дифференциального уравнения (***), то общим решением этого уравнения будет
9. Условие линейной независимости частных решений дифференциального уравнения Если заданы начальные условия то, чтобы из общего решения
10. Линейно независимые решения дифференциального уравнения - го порядка образуют фундаментальную систему решений. Общее решение неоднородного дифференциального
11. Теорема. Если - фундаментальная система решений дифференциального уравнения то решением дифференциального уравнения является функция где удовлетворяют
12. 12.3.8 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Характеристическое уравнение
13. Пример.
15. Скачать презентацию

Слайд 2

Далее везде примем обозначение
Т.к. определению подлежат две функции
то одним соотношением

между ними распорядимся
произвольно. Наиболее целесообразно подчинить
условию Тогда
Подставим в
уравнение (*)
Получили систему дифференциальных уравнений для определения

Слайд 3

Слайд 4

Пример.

Слайд 5

12.3.7 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка.
Выше изложенное переносится на дифференциальные

уравнения порядка
(**)
где - непрерывные функции.
Сначала рассмотрим однородное уравнение
(***)

Слайд 6

Линейно независимые системы функций.
Рассмотрим систему функций Линейной комбинацией их будет

где - постоянные.
Определение. Система функций называется линейно независимой, если ни одну из этих функций нельзя представить в виде линейной комбинации остальных.
Т.е. не может быть равенства
В частности линейно независимы, если

Слайд 7

Если не есть линейно независимые функции, то они линейно зависимы.
Пример.

Слайд 8

Теорема.
Если суть частных линейно независимых решений дифференциального уравнения (***), то

общим решением этого уравнения будет
(****)
Если - линейно зависимые решения, то, по крайней мере, одно из них выразится через остальные
и функция будет зависеть не от , а от произвольных постоянных. Она не даст общего решения дифференциального уравнения.

Слайд 9

Условие линейной независимости частных решений дифференциального уравнения
Если заданы начальные

условия
то, чтобы из общего решения получить
частное решение , надо решить систему алгебраических
уравнений
Здесь
Нулевым начальным условиям соответствует

Слайд 10

Линейно независимые решения дифференциального уравнения - го порядка образуют фундаментальную

систему решений.
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения

Слайд 11

Теорема.
Если - фундаментальная система решений дифференциального уравнения
то решением

дифференциального уравнения
является функция где удовлетворяют системе
Определитель системы есть определитель Вронского.

Слайд 12

12.3.8 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами и правой

частью специального вида.
Характеристическое уравнение
1) Каждому действительному корню кратности соответствует решений
2) Каждой паре комплексно сопряженных корней кратности соответствует решений
Общее число кратности равно поэтому решений будет

Слайд 13

Метод вариации произвольных постоянных. (Лекция 2.12)

Содержание

Далее везде примем обозначение Т.к. определению подлежат две функциито одним соотношением

Пример.

12.3.7 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка. Выше изложенное переносится на дифференциальные

Линейно независимые системы функций. Рассмотрим систему функций Линейной комбинацией их будет

Если не есть линейно независимые функции, то они линейно зависимы. Пример.

Теорема. Если суть частных линейно независимых решений дифференциального уравнения (***), то

Условие линейной независимости частных решений дифференциального уравнения Если заданы начальные

Линейно независимые решения дифференциального уравнения - го порядка образуют фундаментальную

Теорема. Если - фундаментальная система решений дифференциального уравнения то решением

12.3.8 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами и правой

Пример.

Похожие презентации

Далее везде примем обозначение
Т.к. определению подлежат две функции
то одним соотношением

12.3.7 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка.
Выше изложенное переносится на дифференциальные

Линейно независимые системы функций.
Рассмотрим систему функций Линейной комбинацией их будет

Если не есть линейно независимые функции, то они линейно зависимы.
Пример.

Теорема.
Если суть частных линейно независимых решений дифференциального уравнения (***), то

Условие линейной независимости частных решений дифференциального уравнения
Если заданы начальные

Теорема.
Если - фундаментальная система решений дифференциального уравнения
то решением