Методы решения уравнений и неравенств в целых числах

Решение.
Пусть х – количество кроликов, у – количество фазанов, тогда имеем уравнение 4x + 2y = 18 или 2x + y = 9

Если х=1, то у=7.

Если х=2, то у=5.

Если х = 3, то у = 3.

Если х = 4, то у = 1.

При х = 5 получаем 2 ∙ 5 = 10 > 9.

Ответ: (1;7), (2;5), (3;3), (4;1).

7.1. Линейные уравнения
Метод прямого перебора

Решение.
Для уменьшения перебора вариантов рассмотрим неравенства

5х = 39 – 8у ≥ 0
8у = 39 – 5х ≥ 0

у ≤ 4
х ≤ 7

Проведем перебор по неизвестной у.

Если у = 1, то х = 6,2 не является натуральным числом.

Если у = 2, то х = 4,6 не является натуральным числом.

Если у = 3, то х = 3.

Если у = 4, то х = 1,4 не является натуральным числом.

Ответ: (3; 3)

Решение.
Обозначим количество контейнеров первого вида через х, второго – через у. Получаем уравнение 130х + 160у = 3000 или 13х + 16у = 300.

Далее имеем: 13х + 13у + 3у = 13 ∙ 23 + 1,
3у - 1 = 13 ∙ (23 - х - у).

Отсюда следует, что разность 3у - 1 делится на 13.

Если 3у - 1 = 0, то у не является натуральным числом.

Если 3у - 1 = 13, то у не является натуральным числом.

Если 3у - 1 = 26, то у = 9 и х = 12.

Если 3у - 1 = 39, то у не является натуральным числом.

Если 3у - 1 = 52, то у не является натуральным числом.

Если 3у - 1 = 65, то у = 22 но 16 ∙ 22 = 352 > 300.

Ответ: 12 контейнеров по 130 кг и 9 по 160 кг.

Решение.
Выразим из уравнения то не- известное, коэффициент при котором меньше по модулю:

Дробь

должна быть равна целому числу.

где z – целое число. Тогда 2у + 3 = 5z. Из последнего
уравнения выразим то неизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю, и проделаем аналогичные преобразования:

Дробь

должна быть целым числом. Обозначим ,

где t – целое
число .

Отсюда z = 2t - 3. Последовательно возвращаемся к неизвестным x и y.

y = 3∙(2t - 3) - t = 5t - 9,
x = y + z = 5t - 9 + 2t - 3 = 7t - 12.

Ответ: x = 7t - 12, y = 5t - 9, где t Z.

Положим ,

Теорема.
Пусть уравнение ax + by= c разрешимо в Z и пара (x0; y0) является частным решением этого уравнения. Тогда множеством всех решений в Z данного уравнения является множество пар (x; y), где

Следствие.
Пусть а и b взаимно просты и ( x0 y0)какое-нибудь решение уравнения

ax + by = c (*)

Тогда формулы

x = x0 - b ∙ t ,
y = y0 + a ∙ t

при t є Z дают все решения уравнения (*).

Решение.
Из условия задачи следует, что существует натуральное число k такое, что
n = 6k + 4.

2k - 5l = 1. (*)

Для решения этого уравнения найдем какое-нибудь частное решение в целых (не обязательно неотрицательных) числах. Подбором в качестве такого частного решения можно взять, например, k = -2 , l = -1. Согласно следствия уравнение (*) имеет решения

k = -2 +5t,

l = -1 + 2t, где t є Z.

Чтобы числа k и l были неотрицательными, параметр t должен принимать натуральные значения. Теперь имеем

n = 6 ∙ (5t - 2) +4 =

Ответ: 22.

Аналогично имеем , n = 15l + 7, где l є N. Исключая из этих двух равенств n, получим уравнение

30t - 8 =

30(t - 1) + 22.

Решение. Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных. Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби

Правильную дробь заменим равной ей дробью

Тогда получим

Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью .

Повторяя те же рассуждения для дроби , получим

Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его

127 ∙ 9 - 52 ∙ 22 + 1 = 0.

127x -52y + 1 = 0

x = 9, y = 22

x = 9 +52t ,

y = 22 + 127 t ,

где t є Z.

Ответ: x = 9 +52t , y = 22 + 127 t ,
где t є Z.

Пример 84.
Решить в целых числах уравнение 2x3 + xy - 7 = 0.

Решение.
Приведем данное уравнение к виду

x(2x2 + y) = 7

Так как

7= 1 ∙ 7 = 7 ∙ 1 = -1 ∙ (-7) = -7 ∙ (-1),

то рассмотрим четыре системы уравнений:

Из каждой системы получаем решения.

Ответ: (1; 5); (-1; -9); (7; -97); (-7; -99).

Решение.
Запишем условие задачи в виде уравнения n2 - k2 = 55 или (n - k)(n + k) = 55. Так как n + k > 0, то n - k > 0, причем n + k > n - k.

Поскольку 55 = 1 ∙ 55 = 5 ∙ 11 то возможны два случая

Решая эти уравнения, получим два ответа:

n = 28, k = 27

и n = 8, k = 3.

Ответ: (28; 27); (8; 3).

Решение.
Перепишем уравнение в виде

2x2 - x(2y - 9) + y - 2 + a = a

и разложим левую часть уравнения на множители как квадратный трехчлен относительно х.
Находим дискриминант

D = 4y2 - 44y + 97 - 8a.

Очевидно, если , 97 - 8a = 121, то дискриминант будет полным квадратом. При этом a = -3 и

Отсюда x1 = 0,5 и x2 = y - 5. Уравнение принимает вид (2x - 1)(x - y + 5) = -3. Рассмотрите самостоятельно решение последнего уравнения.

Ответ: (1; 9); (-1; 3); (2; 8); (0; 2).

3xy + 14x + 17y + 71 = 0.

Решение.
Выразим из данного уравнения у через х:

При этом следует отметить, что величина 3x + 17 ≠ 0 (так как x – целое число). Выделим из дроби в правой части этого равенства правильную алгебраическую дробь (у которой степень числителя меньше степени знаменателя):

Умножим обе части последнего равенства на 3:

Решение.
Так как 2x2 – четное число, а 7 – нечетное, то 5y2 должно быть нечетным, т.е. у – нечетное.

Пусть , y = 2z + 1, где z є Z , тогда данное уравнение можно переписать в виде x2 - 10z2 - 10z = 6.

Отсюда видно, что x должно быть четным. Пусть , x = 2m, тогда последнее уравнение примет вид 2m2 - 5z(z + 1) = 3, что невозможно, так как число z(z + 1) – четно, а разность двух четных чисел не может быть равна нечетному числу. Таким образом, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: нет решений.

Ответ: (-4; -3); (-6; -13); (-14; -5).

Замечание. В данном примере суть выделения целой части состоит в избавлении переменной x из числителя (сравните с примером 77). В решении был использован прием домножения обеих частей равенства на коэффициент при x в знамена- теле. Этот прием домножения также удобно использовать при решении уравнений методом разложения на множители.

Решение.
Положим x = a + b, y = a - b.

Так как x3 + y3 = 2a3 + 6ab2,

то исходное уравнение принимает вид
2a3 + 6ab2 + z3 = 2.

Положив a = 1, получим z3 = -6b2.

Считаем теперь b = 6t2

Отсюда x = 1 + 6t2, y = 1 -6t2, z = -6t2.

Таким образом, получено бесконечное множество решений исходного уравнения, соответствующих целочисленным значениям параметра t.

Ответ: x = 1 + 6t2, y = 1 -6t2, z = -6t2, где t є Z

Решение.
1. Преобразуем исходное равенство:

k ln n = n ln k

2.

3. В случае k = 1 из данного уравнения получаем n = 1, что не соответствует условию k < n.

4. В случае k = 2 получаем уравнение , n2 = 2n, решение которого легко находится подбором: n = 4, причем в силу выше- сказанного это единственное решение n > e.

Ответ: k = 2, n = 4.

Решение.
Допустимые значения x определяются системой неравенств

Подставляем последовательно найденные значения x в неравенство, предварительно его упростив.

Ответ: 2; 3.

Решение.
Допустимые значения z определяются из системы

Заметим, что левая часть неравенства увеличивается с ростом z, а правая – уменьшается. Это обстоятельство позволяет упростить перебор.

В силу сделанного выше замечания, необходимости в проверке значений z = 3, 4, 5, 6 нет. Эти числа решениями не являются.

Ответ: -1, 0, 1.

Решение.
Целые решения будем искать из двух ограничений системы

Первое неравенство выполняется при x = 3, 4, 5, 6. Но из этих значений исходному неравенству удовлетворяет только x = 3.

При x = 0, 1, 2 первое неравенство не выполняется.

При x = -1 выполняется как первое не- равенство, так и исходное неравенство.

При x = -2 первое неравенство не выполняется.

При остальных значениях x = -3, -4, ... первое неравенство не разрешимо, так как левая часть неравенства x(x2 - 5) ≥ 3 будет отрицательной.

Ответ: -1; 3.

Дальше подбором находим n = ±2,±3, ±4 или n = ±8, ±9,±10, ±11, ±12.

Ответ: 16 решений.

Первое решение.
Рассмотрим уравнение b2 - 4ac = 23.

Так как 23 – нечетное число, а 4ac – четное, то b2 и, следовательно, b – нечетное число, т.е. b = 2k - 1, k є Z.Тогда (2k - 1)2 - 4ac = 23; 4(k2- k -ac) = 22. Последнее уравнение не имеет решений, так как 22 не делится на 4.

Второе решение.
Перепишем уравнение b2 - 4ac = 23 в виде b2 - 25 = 4ac - 2 и разложим обе части уравнения на множители:

(b - 5)(b + 5) = 2(2ac - 1). (*)

Так как в правой части уравнения – число четное, то и в левой – тоже четное, следовательно, b - 5 и b + 5 одновременно четные (докажите), т.е. b - 5 =2m, b - 5 = 2k.

Левая часть уравнения (*) делится на 4, а правая – нет, поэтому уравнение b2 -4ac = 23 не имеет решений в целых числах.

Третье решение.
Перепишем уравнение b2 -4ac = 23 в виде b2 = 4ac + 23 или b2 = 4(ac + 5) + 3. Получили, что квадрат натурального числа при делении на 4 дает остаток 3, что невозможно (докажите).

Ответ: не может.

Опорная задача.
Докажите, что оста- ток от деления на 3 числа 5k равен 1, если k четно, и 2, если k нечетно.

Решение.
Выделяя полные квадраты, получаем:

Из первого и второго неравенства системы:

Подставляя x = 12 в систему, получаем:

Ответ: (12; -8).