Нахождение точек экстремума функции

Август 12, 2022

Главная
Математика
Нахождение точек экстремума функции

Содержание

2. Определения Точка хо называется точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность,
3. Определения Значение функции в точке максимума обозначают уmax (но на определенном участке вокруг точки максимума, а
4. Теорема Пусть функция у = f(х) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или
5. б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х 0, а при х>х0
6. в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от
7. Алгоритм нахождения точек экстремума функции Найти производную функции f ΄(х) Найти стационарные и критические точки функции
8. Например: найти точки экстремума функции Решение. 1) у΄=12 х³ - 48х² + 48х = = 12х(х²-4х+4)
9. Найдите точки экстремума функции и определите их характер у = 7 + 12х - х² у
10. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
11. Теорема Дифференцируемая на (а;b) и непрерывная на [a;b] функция у=f(x) достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на
12. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции у=f(х) на отрезке [а;в] 1) Найти производную f
13. Например: найти наименьшее и наибольшее значения функции у= х³ - 3х² - 45х + 1 на
14. Решение. б) на [-2;2] 1) у΄= 3х² - 6х – 45 2) у΄= 0 => 3х²
15. Самостоятельно найдите наименьшее и наибольшее значения функции у= х³ - 3х² - 45х + 1 на
17. Скачать презентацию

Слайд 2

Определения
Точка хо называется точкой минимума функции у = f(х), если у

этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство
f(х) ≥ f(хо)
Точка хо называется точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство
f(х) ≤ f(хо)

Слайд 3

Определения
Значение функции в точке максимума обозначают уmax (но на определенном участке

вокруг точки максимума, а не на всей области определения функции – это унаиб. )
Значение функции в точке минимума обозначают уmin (но это не унаим. функции на всей области определения)
Точки минимума и максимума называются точками экстремума

Слайд 4

Теорема
Пусть функция у = f(х) непрерывна на промежутке Х и имеет

внутри промежутка стационарную или критическую точку х=х0. Тогда:
а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х<х0 выполняется неравенство f΄(х) <0, а при х>х0 - неравенство f΄(х) >0, то
х0 – точка минимума функции у = f(х)

х0

- min

Слайд 5

б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при

х<х0 выполняется неравенство f΄(х) > 0, а при х>х0 - неравенство f΄(х) <0, то
х0 – точка максимума функции у = f(х)

х0

- max

Слайд 6

в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней

и слева и справа от точки х0 знаки производной одинаковы, то в точке х0 экстремума нет (происходит изменение кривизны графика функции – это точка перегиба)

х0

экстремума нет

Слайд 7

Алгоритм нахождения точек экстремума функции
Найти производную функции f ΄(х)
Найти стационарные и

критические точки функции у = f(х)
Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой
Определить знаки производной на получившихся промежутках
Если f ′(х0) при переходе через точку меняет знак с «+» на «-», то эта точка – точка максимума. Если f ′(х0) при переходе через точку меняет знак с «-» на «+», то эта точка – точка минимума. Если f ′(Х0) не меняет знак, то в этой точке экстремума нет (это точка перегиба).

Слайд 8

Например: найти точки экстремума функции
Решение. 1) у΄=12 х³ - 48х² +

48х =
= 12х(х²-4х+4) = 12х (х - 2)²
2) у΄=0 при х =0 и х =2 (стационарные точки)
3)
4)
5) Значит: х = 0 – точка минимума,
х = 2 - точка максимума.

f ´(x)

Слайд 9

Найдите точки экстремума функции и определите их характер
у = 7 +

12х - х²
у = 3х³ + 2х² - 7
у = -2х³ + 21х² + 19
у = 3х² - х³
у = х + 4/х

Слайд 10

Нахождение
наибольшего
и наименьшего
значений
непрерывной
функции

на промежутке

Слайд 11

Теорема
Дифференцируемая на (а;b) и непрерывная на [a;b] функция у=f(x) достигает своего

наибольшего (наименьшего) значения на границе отрезка [a;b] или в одной из точек экстремума на интервале (а;b).
Если функция удовлетворяет условиям теоремы и имеет единственную точку экстремума – точку максимума (минимума), то в ней достигается наибольшее (наименьшее) значение

Слайд 12

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции у=f(х) на отрезке

[а;в]

1) Найти производную f ΄(х)
2) Найти стационарные и критические точки функции и проверить принадлежат ли они
отрезку [а;в]
3) Вычислить значение функции у=f(х)
на концах отрезка, т.е в точках х=а и х=в
в стационарных и критических точках, принадлежащих [а;в]
4) Выбрать среди найденных значений наименьшее (это и будет Унаим.) и наибольшее (это и будет Унаиб.)

Слайд 13

Например: найти наименьшее и наибольшее значения функции у= х³ - 3х²

- 45х + 1 на отрезках а)[-4;6] б) [-2;2]

а) 1) у΄= 3х² - 6х - 45
2) у΄= 0 => 3х² - 6х - 45 = 0|:3
х² - 2х - 15 = 0 =>
х1=-3 ϵ [-4;6] и х2= 5 ϵ [-4;6]
3) Найдём у(-4); у(6); у(-3); у(5):
Получим: у(-4)=69; у(6)=-161; у(-3)=82;
у(5)=-174.
Значит: Унаим = -174; Унаиб = 82.

Решение.

Слайд 14

Решение. б) на [-2;2]
1) у΄= 3х² - 6х –

45
2) у΄= 0 => 3х² - 6х - 45 = 0|:3
х² - 2х - 15 = 0 => х1=-3 ¢ [-2;2]
х2= 5 ¢ [-2;2]
3) Найдём у(-2); у(2):
Получили у(-2)= 71; у(2)=-93
Значит: Унаим = - 93; Унаиб = 71.

Слайд 15