Нахождение экстремума функции нескольких переменных. (Тема 16.8)

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Нахождение экстремума функции нескольких переменных. (Тема 16.8)

Содержание

2. Точка (х0,у0) называется точкой условного экстремума (максимума или минимума), если существует такая окрестность этой точки, что
3. Чтобы найти условный экстремум, нужно из уравнения связи выразить одну переменную через другую: y=φ(x). Подставим это
4. безусловный экстремум условный экстремум
5. ПРИМЕР. Найти точки максимума и минимума функции при условии 3х+2у=11.
6. РЕШЕНИЕ.
7. В этом примере связь между х и у оказалась линейной, поэтому уравнение связи легко разрешилось относительно
8. функция Лагранжа
9. ТЕОРЕМА. Если точка (х0,у0) является точкой условного экстремума функции z=f(x,y) при условии g(x,y)=C, то существует значение
10. Следовательно, для нахождения условного экстремума функции z=f(x,y) при условии g(x,y)=C, требуется найти решение системы:
11. Последнее уравнение совпадает с уравнением связи. Первые два уравнения можно записать в виде: То есть в
13. Скачать презентацию

Слайд 2

Точка (х0,у0) называется точкой условного
экстремума (максимума или минимума),
если существует такая окрестность

этой
точки, что для всех точек (х,у) из этой
окрестности, удовлетворяющих условию
g(x,y)=C, выполняется неравенство:

max

min

Слайд 3

Чтобы найти условный экстремум, нужно из уравнения связи выразить одну переменную

через другую:
y=φ(x).
Подставим это выражение в функцию двух переменных и получим функцию одной переменной:
z=f(x,y)=f(x, φ(x)).
Ее экстремум и будет условным экстремумом функции z=f(x,y).

Слайд 4

безусловный экстремум
условный экстремум

Слайд 5

ПРИМЕР.
Найти точки максимума и минимума
функции
при условии 3х+2у=11.

Слайд 6

РЕШЕНИЕ.

Слайд 7

В этом примере связь между х и у оказалась линейной, поэтому

уравнение связи легко разрешилось относительно одной из переменных.
Но в некоторых случаях это сделать довольно сложно. Поэтому в общем случае для нахождения условного экстремума используется

метод множителей Лагранжа

Рассмотрим функцию трех переменных:

Слайд 8

функция Лагранжа

Слайд 9

ТЕОРЕМА.
Если точка (х0,у0) является точкой
условного экстремума функции z=f(x,y)
при условии

g(x,y)=C, то существует
значение λ0, такое что точка
(х0,у0,λ0) является точкой экстремума
функции L(x,y,λ).

Слайд 10

Следовательно, для нахождения условного экстремума функции z=f(x,y) при условии g(x,y)=C, требуется

найти решение системы:

Слайд 11

Последнее уравнение совпадает с уравнением связи.
Первые два уравнения можно записать в

виде:

То есть в точках условного экстремума
градиенты функций f(x,y) и g(x,y)
коллинеарны.

Нахождение экстремума функции нескольких переменных. (Тема 16.8)

Содержание

Точка (х0,у0) называется точкой условногоэкстремума (максимума или минимума),если существует такая окрестность

Чтобы найти условный экстремум, нужно из уравнения связи выразить одну переменную

безусловный экстремум условный экстремум

ПРИМЕР. Найти точки максимума и минимумафункциипри условии 3х+2у=11.