Обобщение признаков делимости

Признак делимости Паскаля

Теорема: Натуральное число

делится на натуральное число b тогда

Доказательство:

Разделим на b каждую из разрядных единиц числа x, получим:

Преобразуем число х:

Применив дистрибутивный закон умножения относительно сложения и ассоциативный и

На основании преобразований получаем:

Если s>b, то разделим s на b с

Разделив s на b,

После преобразований получаем:

Короче,

Сравните!

Вывод:
При делении натурального числа x на натуральное число b получается такой

Применим признак делимости Паскаля для вывода признака делимости на 3.

Найдем остатки

Доказательство гипотезы проведем методом математической индукции

Пусть

n=1, 10=3·3+1

n=k,

n=k+1,

Действительно, при делении разрядных

Составим сумму s.
Имеем:

Следовательно, если s кратно 3, то и число

Обратное утверждение (необходимое условие)
Если число х делится на 3, то и

Для доказательства представим число

в виде:

Так как

(по свойству транзитивности отношения делимости)

Следовательно:

Что и требовалось доказать.

Признак делимости на 11
Применим признак Паскаля.
Определим остатки от деления разрядных единиц

Смотри!

Признак делимости на 11

Образуем сумму s:

Сформулируем признак
Для того чтобы число делилось на 11, необходимо и достаточно,

Например:

Определите какие числа делятся на 11
a=143578
b=123123
c=121
d=23562

Ответ:

a=143578 1-4+3-5+7-8=11-17=-6
Число a не делится на 11, так как -6:11

_____

b=123123 1-2+3-1+2-3=0

Число

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель

Тема:
Делимость натуральных чисел

Наименьшее общее кратное

Определение: общим кратным натуральных чисел a и b

Например:

a=12 и b=18
Обозначим множество чисел кратных a символом A, а множество

Свойства наименьшего кратного

Наименьшее общее кратное двух или нескольких натуральных чисел всегда

Любое общее кратное делится на их наименьшее общее кратное.
Доказательство:
Пусть m- общее

Если: m=k·g+r

и

то

Аналогичные рассуждения можно провести и показать, что r делится на

Например:

a=12 и b=18
A={12,24,36,48,60,72,84,96,108,…}
B={18,36,54,72,90,108,…}
K(12,18)=36 – наименьшее общее кратное
Действительно: 72 = 36·2

Наибольший общий делитель

Определение: общим делителем натуральных чисел a и b

Например:

a=12 и b=18
Обозначим множество делителей числа a символом C, а множество

Свойства наибольшего общего делителя

Наибольший общий делитель двух или нескольких натуральных чисел

Например:

a=12 и b=18
C={1,2,3,4,6,12}
D={1,2,3,6,9,18}
D(12,18)=6 – наибольший общий делитель
Действительно: 6 кратно 1,

Взаимно простые числа

Определение
Два или несколько натуральных чисел называются взаимно простыми,

Например:

Числа 12 и 25
Множество делителей 12 обозначим символом A
A={1,2,3,4,6,12}
Множество делителей 25

Наибольший общий делитель двух чисел и их наименьшее общее кратное взаимосвязаны

Если d является общим делителем натуральных чисел a и b, то

Тогда

Или

Значит, k-общее кратное чисел a и b

Следствие
Если k-наименьшее общее кратное чисел a и b, то d –

2 замечания

Число 1 является общим делителем любых натуральных чисел.
Наименьшее общее кратное

Например:
D(9;16)=1
K(9;16)=9·16=144

Следствие признак делимости на составное число

Для того чтобы натуральное число a делилось

Достаточное условие:

Если натуральное число делится на каждое из взаимно простых чисел

Поэтому а делится на наименьшее общее кратное чисел m и n

Необходимое условие

Если натуральное число a делится на произведение взаимно простых чисел

Например:

Признак делимости на 6:
Для того, чтобы натуральное число делилось на

Задание:

Сформулируйте признак делимости на 15.
Определите делится ли на 6 число 234.378?