Однородные дифференциальные уравнения I порядка

4. Однородные ДУ I порядка.

Функция f(x;y) называется однородной степени n, если умножение всех её аргументов

Пример 1.

- однородная функция 3-ей степени

Так как

- однородная функция 1-ой степени

Так как

- однородная функция 0-ой степени

Так как

- однородная функция 2-ой степени

Так как

- однородная функция (-1)-ой степени

Так как

ДУ I порядка называется однородным, если f(x;y)- однородная функция 0-ой степени,

Однородное ДУ I порядка можно записать в виде:

Т.к.

, то если положить

Получаем:

Решение однородного ДУ I порядка

Это уравнение преобразуется в уравнение с

или

или

-общее решение данного ДУ

Пример 2. Найти общее решение ДУ:

Это однородное ДУ вида

⇒

Пример 3. Решить задачу Коши: , если y(1)=0

Это однородное ДУ вида

⇒

- общее решение

Найдем С:

или

- частное решение

Уравнение вида называется однородным, если M(x;y) и N(x;y)- однородные функции одной

Пример 4. Найти общее решение ДУ:

M(x;y)

N(x;y)

- уравнение однородное вида

⇒

(*)

- общее решение

Это однородное ДУ можно привести к виду

⇒

⇒

- получили (*)

Пример 5. Найти общее решение ДУ:

M(x;y)

N(x;y)

- уравнение однородное вида

⇒

Пример 6. Найти общее решение ДУ:

Это однородное ДУ можно привести к

⇒

общее решение