Определение математической модели

Август 24, 2022

Главная
Математика
Определение математической модели

Содержание

2. ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов
3. Последовательность этапов
4. 1. Содержательная постановка Заказчик - человек или организация, заинтересованные в создании новой математической модели; Исполнитель -
5. 1. Содержательная постановка Этап обследования проводится членами рабочей группы под руководством постановщиков задач и включает следующие
6. 1. Содержательная постановка
7. 2. Концептуальная постановка задачи Формулируется совокупность гипотез о поведении объекта, его взаимодействии с окружающей средой, изменении
8. 2. Математическая постановка задачи Возможные виды задач, появляющиеся при математической постановке: Линейное или нелинейное уравнение; Система
9. 2. Математическая постановка задачи Можно выделить несколько наиболее распространенных типов задач, возникающих для систем ОДУ или
10. 3. Математическая постановка задачи Проверка корректности математической постановки: Контроль размерностей, включающий правило, согласно которому приравниваться и
11. 3. Математическая постановка задачи
12. 4. Выбор и обоснование выбора метода решения задачи
13. 4. Выбор и обоснование выбора метода решения задачи Метод реализации модели относят к аналитическим, если он
14. 4. Выбор и обоснование выбора метода решения задачи Применение любого численного метода приводит к погрешности результатов
15. 4. Выбор и обоснование выбора метода решения задачи Можно выделить следующие группы численных методов по объектам,
16. 5. Реализация математической модели в виде программы для ЭВМ Процесс создания программного обеспечения можно разбить на
17. Спецификация программы 1) Название задачи Дается краткое определение решаемой задачи, название программного комплекса, указывается система программирования
18. Спецификация программы 5) Выходные данные Описываются выходные данные, указывается, в каком виде они должны быть представлены
19. 6. Проверка адекватности модели Под адекватностью математической модели будет пониматься степень соответствия результатов, полученных по разработанной
20. 6. Проверка адекватности модели Неадекватность результатов моделирования возможна, по крайней мере, по трем причинам: а) Значения
21. 7. Практическое использование построенной модели Математические модели могут использоваться: для изучения свойств и особенностей поведения исследуемого
22. ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов
23. Пример 1. О баскетболисте Разработать математическую модель, позволяющую описать полет баскетбольного мяча, брошенного игроком в баскетбольную
24. Пример 1. О баскетболисте Гипотезы: объектом моделирования является баскетбольный мяч радиуса R; мяч будем считать материальной
25. Пример 1. О баскетболисте Математическая постановка: В проекциях на оси координат: Точность броска: Δ = x(tk)
27. Скачать презентацию

Слайд 2

ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Пермский национальный исследовательский
политехнический университет
Кафедра математического моделирования

систем и процессов

Слайд 3

Последовательность этапов

Слайд 4

1. Содержательная постановка
Заказчик - человек или организация, заинтересованные в создании новой

математической модели;
Исполнитель - рабочая группа, включающая специалистов разного профиля: прикладных математиков, специалистов, хорошо знающих особенности объекта моделирования, программистов.

Слайд 5

1. Содержательная постановка
Этап обследования проводится членами рабочей группы под руководством постановщиков

задач и включает следующие работы:
тщательное обследование собственно объекта моделирования с целью выявления основных факторов, механизмов, определяющих его поведение, определения соответствующих параметров, позволяющих описывать моделируемый объект,
сбор и проверка имеющихся экспериментальных данных об объектах – аналогах, проведение при необходимости дополнительных экспериментов,
аналитический обзор литературных источников, анализ и сравнение между собой построенных ранее моделей данного объекта (или подобных рассматриваемому объекту),
анализ и обобщение всего накопленного материала, разработка общего плана создания математической модели.

Слайд 6

1. Содержательная постановка

Слайд 7

2. Концептуальная постановка задачи
Формулируется совокупность гипотез о поведении объекта, его взаимодействии

с окружающей средой, изменении внутренних параметров.
Как правило, эти гипотезы правдоподобны в том смысле, что для их обоснования могут быть приведены некоторые теоретические доводы и экспериментальные данные, основанные на собранной ранее информации об объекте.

Слайд 8

2. Математическая постановка задачи
Возможные виды задач, появляющиеся при математической постановке:
Линейное или

нелинейное уравнение;
Система линейных/нелинейных уравнений;
Дифференциальное уравнение/система дифференциальных уравнений;
Дифференциальное уравнение в частных производных/система ДУЧП;
Интегральные, интегро-дифференциальные уравнения…

Слайд 9

2. Математическая постановка задачи
Можно выделить несколько наиболее распространенных типов задач, возникающих

для систем ОДУ или ДУЧП:
задача Коши, или задача с начальными условиями, в которой по заданным в начальный момент времени переменным (начальным условиям) определяются значения этих искомых переменных для любого момента времени;
начально – граничная, или краевая задача, когда условия на искомую функцию выходного параметра задаются в начальный момент времени для всей пространственной области и на границе последней – в каждый момент времени (на исследуемом интервале);
задачи на собственные значения, когда в формулировку задачи входят неопределенные параметры, определяемые из условия качественного изменения поведения системы (например, потеря устойчивости состояния равновесия или стационарного движения, появление периодического режима, резонанс и т.д.).

Слайд 10

3. Математическая постановка задачи
Проверка корректности математической постановки:
Контроль размерностей, включающий правило, согласно

которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности.
Контроль порядков, состоящий из грубой оценки сравнительных порядков складываемых друг с другом величин и исключением малозначимых параметров.
Контроль физического смысла состоит в проверке физического или иного, в зависимости от характера задачи, смысла исходных и промежуточных соотношений, появляющихся по мере конструирования модели.
Контроль математической замкнутости - число неизвестных должно совпадать с числом уравнений.

Слайд 11

3. Математическая постановка задачи

Слайд 12

4. Выбор и обоснование выбора метода решения задачи

Слайд 13

4. Выбор и обоснование выбора метода решения задачи
Метод реализации модели относят

к аналитическим, если он позволяет получить выходные величины в виде аналитических выражений, т.е. выражений, в которых используется совокупность арифметических операций и переходов к пределу.
Пример:
Частным случаем аналитических выражений являются алгебраические выражения, в которых используется конечное или счетное число арифметических операций, операций возведения в целочисленную степень и извлечения корня.
Примеры алгебраических выражений:

Слайд 14

4. Выбор и обоснование выбора метода решения задачи

Применение любого численного метода

приводит к погрешности результатов решения задачи. Выделяют три основных составляющих возникающей погрешности при численном решении исходной задачи:
неустранимая погрешность, связанная с неточным заданием исходных данных задачи (начальные и граничные условия, коэффициенты и правые части уравнений);
погрешность метода, связанная с переходом к дискретному аналогу исходной задачи (например, заменяя производную y/(x) разностным аналогом (y(x+Δx)-y(x))/Δx, получаем погрешность дискретизации, имеющую при Δx→0 порядок Δx);
ошибка округления, связанная с конечной разрядностью чисел, представляемых в ЭВМ.

Слайд 15

4. Выбор и обоснование выбора метода решения задачи

Можно выделить следующие группы

численных методов по объектам, к которым они применяются:
интерполяция и численное дифференцирование;
численное интегрирование;
определение корней линейных и нелинейных уравнений;
решение систем линейных уравнений (подразделяют на прямые и итерационные методы);
решение систем нелинейных уравнений;
решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений;
решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений;
решение уравнений в частных производных;
решение интегральных уравнений.

Слайд 16

5. Реализация математической модели в виде программы для ЭВМ

Процесс создания программного

обеспечения можно разбить на ряд этапов:
разработка технического задания на создание программного обеспечения (спецификация);
проектирование структуры программного комплекса;
кодирование алгоритма;
тестирование и отладка;
сопровождение и эксплуатация.

Слайд 17

Спецификация программы

1) Название задачи
Дается краткое определение решаемой задачи, название программного комплекса,

указывается система программирования для его реализации и требования к аппаратному обеспечению (компьютеру, внешним устройствам и т.д.).
2) Описание
Подробно излагается математическая постановка задачи, описывается применяемая математическая модель для задач вычислительного характера, метод обработки входных данных для задач не вычислительного (логического) характера и т.д.
3) Управление режимами работы программы
Формируются основные требования к способу взаимодействия пользователя с программой (интерфейс «пользователь-компьютер»).
4) Входные данные
Описываются входные данные, указываются пределы, в которых они могут изменяться, значения, которые они не могут принимать, и т.д.

Слайд 18

Спецификация программы

5) Выходные данные
Описываются выходные данные, указывается, в каком виде они

должны быть представлены — в числовом, графическом или текстовом, приводятся сведения о точности и объеме выходных данных, способах их сохранения и т.д.
6) Ошибки
Перечисляются возможные ошибки пользователя при работе с программой, (например, ошибки при вводе входных данных). Указываются способы диагностики и защиты от этих ошибок на этапе проектирования, а также возможная реакция пользователя при совершении им ошибочных действий и реакция программного комплекса (компьютера) на эти действия.
7) Тестовые задачи
Приводится один или несколько тестовых примеров, на которых в простейших случаях проводится отладка и тестирование программного комплекса.

Слайд 19

6. Проверка адекватности модели

Под адекватностью математической модели будет пониматься степень

соответствия результатов, полученных по разработанной модели, данным эксперимента или тестовой задачи.
Проверка адекватности модели преследует две цели:
1)Убедиться в справедливости совокупности гипотез, сформулированных на этапах концептуальной и математической постановок.
2)Убедиться, что точность полученных результатов соответствует точности, оговоренной в техническом задании.

Слайд 20

6. Проверка адекватности модели

Неадекватность результатов моделирования возможна, по крайней мере, по

трем причинам:
а) Значения задаваемых параметров модели не соответствуют допустимой области этих параметров, определяемой принятой системой гипотез.
Например, в задаче о полете мяча гипотезу об отсутствии сопротивления воздуха можно использовать лишь при относительно малых (<5 м/с) скоростях движения тела.
б) Принятая система гипотез верна, но константы и параметры в использованных определяющих соотношениях установлены не точно. Например, в случае задачи о полете мяча значение ускорения свободного падения g может быть уточнено в зависимости от широты.
в) Неверна исходная совокупность гипотез.

Слайд 21

7. Практическое использование построенной модели

Математические модели могут использоваться:
для изучения свойств

и особенностей поведения исследуемого объекта при различных сочетаниях исходных данных и при различных режимах;
как моделирующие блоки в различных системах автоматизированного проектирования (САПР) и управления (АСУ);
при построении оптимизационных моделей и моделей-имитаторов сложных систем и комплексов.

Слайд 22

ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Пермский национальный исследовательский
политехнический университет
Кафедра математического моделирования систем

и процессов

Слайд 23

Пример 1. О баскетболисте
Разработать математическую модель, позволяющую описать полет баскетбольного мяча,

брошенного игроком в баскетбольную корзину.
Модель должна позволять:
вычислять положение мяча в любой момент времени;
определять точность попадания мяча в корзину после броска при различных начальных параметрах.
Исходные данные:
масса и радиус мяча;
начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча;
координаты центра и радиус корзины.

Слайд 24

Пример 1. О баскетболисте
Гипотезы:
объектом моделирования является баскетбольный мяч радиуса R;
мяч будем

считать материальной точкой массой m, положение которой совпадает с центром масс мяча;
движение происходит в поле сил тяжести с постоянным ускорением свободного падения g и описывается уравнениями классической механики Ньютона;
движение мяча происходит
в одной плоскости, перпенди-
кулярной поверхности Земли
и проходящей через точку
броска и центр корзины;
пренебрегаем сопротивлением
воздуха и возмущениями,
вызванными собственным
вращением мяча.

Слайд 25

Пример 1. О баскетболисте
Математическая постановка:
В проекциях на оси координат:
Точность броска:
Δ =

x(tk) – xk, где tk > 0, vy(tk) < 0, y(tk) = yk.

Определение математической модели

Содержание

ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Пермский национальный исследовательский политехнический университетКафедра математического моделирования

Последовательность этапов

1. Содержательная постановкаЗаказчик - человек или организация, заинтересованные в создании новой

1. Содержательная постановкаЭтап обследования проводится членами рабочей группы под руководством постановщиков

1. Содержательная постановка

2. Концептуальная постановка задачиФормулируется совокупность гипотез о поведении объекта, его взаимодействии

2. Математическая постановка задачиВозможные виды задач, появляющиеся при математической постановке:Линейное или

2. Математическая постановка задачиМожно выделить несколько наиболее распространенных типов задач, возникающих

3. Математическая постановка задачиПроверка корректности математической постановки:Контроль размерностей, включающий правило, согласно

3. Математическая постановка задачи

4. Выбор и обоснование выбора метода решения задачи

4. Выбор и обоснование выбора метода решения задачиМетод реализации модели относят

4. Выбор и обоснование выбора метода решения задачи Применение любого численного метода

4. Выбор и обоснование выбора метода решения задачи Можно выделить следующие группы

5. Реализация математической модели в виде программы для ЭВМ Процесс создания программного

Спецификация программы 1) Название задачиДается краткое определение решаемой задачи, название программного комплекса,

Спецификация программы 5) Выходные данныеОписываются выходные данные, указывается, в каком виде они

6. Проверка адекватности модели Под адекватностью математической модели будет пониматься степень

6. Проверка адекватности модели Неадекватность результатов моделирования возможна, по крайней мере, по

7. Практическое использование построенной модели Математические модели могут использоваться:для изучения свойств

ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ Пермский национальный исследовательский политехнический университетКафедра математического моделирования систем

Пример 1. О баскетболистеРазработать математическую модель, позволяющую описать полет баскетбольного мяча,

Пример 1. О баскетболистеГипотезы:объектом моделирования является баскетбольный мяч радиуса R;мяч будем

Пример 1. О баскетболистеМатематическая постановка:В проекциях на оси координат:Точность броска:Δ =

Похожие презентации