Основы логики. Таблица истинности. Равносильные логические выражения

Содержание

Слайд 2

Логика – это наука о формах и способах мышления Джордж Буль (1815-1864) основоположник математической логики

Логика – это наука о формах и способах мышления

Джордж Буль
(1815-1864)


основоположник математической логики
Слайд 3

Содержание Формы мышления Алгебра высказываний Логические выражения, операции и таблицы истинности

Содержание

Формы мышления
Алгебра высказываний
Логические выражения, операции и таблицы истинности
Алгоритм построения

таблиц истинности
Домашнее задание
Проверь себя
Слайд 4

1. Формы мышления Основные формы мышления: Понятие Высказывание (суждение) Утверждение, рассуждение Умозаключение Логич выражение содержание

1. Формы мышления

Основные формы мышления:
Понятие
Высказывание (суждение)
Утверждение, рассуждение
Умозаключение
Логич выражение

содержание

Слайд 5

1.1. Понятие Понятие – это форма мышления, отражающая основные, наиболее существенные

1.1. Понятие

Понятие – это форма мышления, отражающая основные, наиболее существенные свойства

объекта , отличающие его от других предметов (цветы, тетрадь) (Имеет содержание и объем.)

Совокупность существенных признаков объекта

Совокупность предметов, на которую распространяется понятие

содержание

Слайд 6

1.2. Высказывание Суждение – это форма мышления, в которой что-либо утверждается

1.2. Высказывание

Суждение – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или

отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними.
Высказывание – суждение в математической логике
Высказывание может принимать только 2 значения: истина ~ ложь, да ~ нет, 1 ~ 0, вкл ~ выкл.

Высказывание является повествовательным предложением.

Связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей

Высказывание не соответствует реальной действительности

содержание

Слайд 7

Какие из предложений являются высказыванием? Число 6 четное посмотри на доску

Какие из предложений являются высказыванием?

Число 6 четное посмотри на доску
Все роботы машины кто

отсутствует
Кошки дружат с собаками вырази 1час в минутах
Все моряки умеют плавать посмотри направо
Х3 > 3 чему равен путь от Земли до М
Все ананасы вкусные надо хорошо подготовиться к эк
Гречневая каша самая вкусная
Овсяная каша очень полезная
Весна самое приятное время года
Можно самим сделать золото
Можно сделать вечный двигатель
Тигр ласковое животное
Мой кот забияка

содержание

Слайд 8

Определи истинность высказываний Париж - столица Франции. Некоторые медведи живут на

Определи истинность высказываний

Париж - столица Франции.
Некоторые медведи живут на севере.
2 +

2 = 7
Некоторые дети – ученики.
«А» - последняя буква алфавита.
Лед – это твердое состояние воды =1
Париж – столица Китая = 0
Все рыбы умеют плавать = 1
Буква а – согласная = 0
Белый медведь – бурый = 1
Человек произошел от обезьяны+от свиньи+стрекозы+человека

содержание

Слайд 9

Простые и сложные высказывания Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается

Простые и сложные высказывания

Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне

алгебры логики, устанавливается законами наук (сумма углов Δ-ка).
Истинность сложных высказываний устанавливает алгебра логики.
Пр: Если наступает зима, то природа засыпает.

содержание

Слайд 10

1.3. Утверждение Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть Рассуждение

1.3. Утверждение

Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть
Рассуждение – цепочка

высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом

содержание

Слайд 11

1.4. Умозаключение Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из

1.4. Умозаключение

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного

или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).

Посылки – только истинные суждения.
Пр: Литий – металл (=истина), литий – простое вещество (=истина); значит металл – это простое вещество.
Самая короткая дорога опасная; самая длинная дорога безопасная; значит длинная дорога самая короткая.

содержание

Слайд 12

1.5. Логическое выражение утверждение, состоящее из постоянных и обязательно переменных величин

1.5. Логическое выражение

утверждение, состоящее из постоянных и обязательно переменных величин (объектов).


В зависимости от значений этих переменных логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая 1) или ЛОЖЬ (логический 0)

содержание

Сложное логическое выражение

состоит из одного или нескольких простых (или сложных) логических выражений, связанных с помощью логических операций.
Пр: Если х ≠ 0, то операция деления имеет значение

Слайд 13

2. Алгебра высказываний Алгебра высказываний служит для определения истинности или ложности

2. Алгебра высказываний

Алгебра высказываний служит для определения истинности или ложности составных

высказываний (смысловое содержание простых высказываний не учитывается).
Логическая переменная – логич высказы-вание, обозначенное прописными буквами латинского алфавита, которые м прини-мать лишь 2 значения: истина(1) и ложь(0)
Например: А = у кошки 4 ноги; В = на яблонях растут бананы; С = не существует лжи во спасение. А=1, В=0, С=1.

содержание

Слайд 14

Высказывания могут быть простыми и сложными. Опр.: Высказывание явл простым, если

Высказывания могут быть простыми и сложными.
Опр.: Высказывание явл простым, если никакая

его часть сама по себе не является высказыванием.
Простое высказывание состоит из 3х элементов: субъекта, квантора и связки. Пр.: ПК состоит из МП, ОП, УВВ. Х3 > 3
Все 3 элемента простого высказывания – это математические или повествовательные величины, связанные сравнением. Результат их сравнения – логическая константа 1 ~ 0 и появление логического высказывания.
Опр.: сложные высказывания (выражения) состоят из простых (или сложных) высказываний, объединенных логическими операциями.
Основные логические операции: И, ИЛИ, НЕ (если то, тогда и только тогда, не смотря на, только, если то и не).
Пр: А=Петров - врач, В=Петров - шахматист.
Составные высказывания -
С=А*В=Петров - врач и шахматист
С=А+В=Петров - врач, хорошо играющий в шахматы.
С=А⇨В=Если Петров врач, то он играет в шахматы.

содержание

Слайд 15

Логические операции 2.1. Логическое умножение (конъюнкция) 2.2. Логическое сложение (дизъюнкция) 2.3.

Логические операции

2.1. Логическое умножение (конъюнкция)
2.2. Логическое сложение (дизъюнкция)
2.3. Логическое отрицание (инверсия)
2.4.

Логическое следование (импликация)
2.5. Логическое равенство (эквивалентность)
2.6. Логическое сложение по модулю 2
Логические операции задаются таблицами истинности и иллюстрируются диаграммами Эйлера-Венна.

содержание

Слайд 16

2.1. Логическое умножение (конъюнкция) Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно

2.1. Логическое умножение (конъюнкция)

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с

помощью союза «и».
Составное высказывание истинно только тогда, когда истинны оба простых высказывания.

Соответствует союзу И В алгебре множеств это пересечение
Обозначение *, & , ^, И, and F = A * B 

Таблица истинности

Логические операции

содержание

Пр.: ● А = высота шкафа меньше высоты двери, В = ширина шкафа меньше ширины двери, С = шкаф можно внести в дверь если А=В=1 ~шкаф нельзя внести в дверь если ~А~В=0
● Число 6 делится на 2 и на 3 = 1, на 5 и на 3 = 0
● Ложка дегтя портит бочку меда = 1 раз солгавший – лжец.

Слайд 17

2.2. Логическое сложение (дизъюнкция) Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно

2.2. Логическое сложение (дизъюнкция)

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью

союза «или».
Составное высказывание истинно только тогда, когда истинно хотя бы одно из двух простых высказывания.

Соответствует союзу ИЛИ В алгебре множеств это объединение
Обозначение +, V, ИЛИ, or F = A + B 

Таблица истинности

содержание

Логические операции

Пр.: ●С=А∨В = в дверь видно более 2х сторон шкафа, если ~A~B~АиВ=1
●Если проводник из меди или железа, то он проводит ток .
●Ложь рядом с вами не может сделать вас лжецом.

Слайд 18

2.3. Логическое отрицание (инверсия) Присоединение частицы «не» к высказыванию. Инверсия делает

2.3. Логическое отрицание (инверсия)

Присоединение частицы «не» к высказыванию.
Инверсия делает истинное высказывание ложным

и, наоборот.

Соответствует союзу НЕ
Обозначение Ā, ¬А, НЕ, not А
F = ¬ A  

Таблица истинности

содержание

Логические операции

Пр: С = ¬А = высота шкафа больше высоты двери
А=завтра будет снег → С=завтра не будет снега.

Слайд 19

2.4. Логическое следование (импликация) Соответствует обороту Если…, то… (из А следует

2.4. Логическое следование (импликация)

Соответствует обороту Если…, то… (из А следует В)


Обозначение →, ⇨ В языках программирования if … then …
F = A  → B 

Импликация образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…».
Импликация ложна только тогда, когда из истинного первого высказывания (предпосылки) следует ложный вывод (второе высказывание).

Таблица истинности

содержание

Логические операции

Пр.: С= (А) если идет дождь, то (В) на небе тучи.
С= если выглянет солнце, то светло.
● Импликация несимметрична, те А⇨В≠В⇨А , - если на небе тучи, то необязательно идет дождь
● Все пожилые люди пенсионеры, но не все пенсионеры пожилые люди

Слайд 20

2.5. Логическое равенство (эквивалентность) Эквивалентность образуется соединением двух высказываний в одно

2.5. Логическое равенство (эквивалентность)

Эквивалентность образуется соединением двух высказываний в одно с помощью

оборота речи «… тогда и только тогда, когда …».
Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания имеют одинаковое значение истинности - одновременно либо ложны, либо истинны.

Таблица истинности

Соответствует обороту тогда и только тогда, когда …
Обозначение ≡, ⬄, ~ F = A ≡ B 

содержание

Логические операции

Пр: 3 больше 2 (А), а тигры полосатые (В).

Слайд 21

2.5. Логическое сложение по модулю 2 (исключающее ИЛИ) Исключающее ИЛИ образуется

2.5. Логическое сложение по модулю 2 (исключающее ИЛИ)

Исключающее ИЛИ образуется соединением

двух высказываний в одно с помощью оборота речи «… или один, или другой, но не оба вместе …».
Составное высказывание, образованное с помощью логической операции исключающее ИЛИ истинно тогда и только тогда, когда истинно только одно высказывание.

Таблица истинности

Соответствует обороту или один, или др, но не оба вместе
Обозначение ⮿, XOR, F = А⮿В 

содержание

Логические операции

Слайд 22

содержание Логические операции Заполнить самостоятеьлно по ходу урока

содержание

Логические операции

Заполнить самостоятеьлно по ходу урока

Слайд 23

Основные операции алгебры логики в табл содержание Логические операции

Основные операции алгебры логики в табл

содержание

Логические операции

Слайд 24

3. Логические выражения Логическое выражение – формула, в которую входят логические

3. Логические выражения

Логическое выражение – формула, в которую входят логические переменные

и знаки логических операций.

Пример:

Порядок (приоритет) выполнения логич операций в сложном логич выражении:
1. инверсия
2. конъюнкция
3. дизъюнкция
4. импликация
5. эквивалентность
Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки

содержание

Слайд 25

Найдите значения логических выражений содержание

Найдите значения логических выражений

содержание

Слайд 26

Для логического выражения можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность

Для логического выражения можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность

или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний.

содержание

4. Таблицы истинности

Слайд 27

Построение таблицы истинности Подсчитать кол-во переменных в выражении =n. Число строк

Построение таблицы истинности

Подсчитать кол-во переменных в выражении =n.
Число строк в таблице

= 2n + заголовок.
Кол-во столбцов = n + кол-во операций.
Ввести названия столбцов: сначала переменные, затем операции в соответствии с приоритетом.
Ввести наборы значений переменных.
Вычислить значения операций для всех наборов переменных.
Алгоритм заполнения значений переменных:
Разделить колонку 1ой переменной пополам, 1я часть = 0, 2я = 1.
Разделить колонку 2ой переменной на 4 ч и заполнить их 0,1,0,1
Продолжать деление последующих колонок соответственно на 8, 16, 32 … части и заполнять части последовательно 0, 1, 0, 1, …

содержание

Слайд 28

Построение таблицы истинности Определить кол-во строк в таблице по формуле 2n,

Построение таблицы истинности

Определить кол-во строк в таблице по формуле 2n, где

n – кол-во логич переменных + 1 строка заголовка.
Определить кол-во столбцов таблицы: кол-во логич переменных + кол-во логич операций.
Построить таблицу истинности, обозначить столбцы, внести все наборы исходных данных логич переменных (по 0,5 столбика, снова по 0,5)
Заполнить таблицу истинности, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности.

содержание

Слайд 29

ПРИМЕР: составить таблицу истинности для сложного логического выражения Кол-во строк таблицы

ПРИМЕР:  составить таблицу истинности для сложного логического выражения

Кол-во строк таблицы

22 +1 = 5, тк в формуле две переменные A и B – два простых высказывания.
Кол-во столбцов: 2 переменные + 5 лог операций =7

содержание

Слайд 30

ПРИМЕР: составить таблицу истинности для сложного логического выражения D = неA

ПРИМЕР:  составить таблицу истинности для сложного логического выражения D = неA

& ( B+C )

Кол-во строк = 23 +2 = 10 (n=3, т.к. на входе три элеманта А, В, С) – три простых высказывания.
Кол-во столбцов: 3 переменные + 3 лог операции =6

содержание

Слайд 31

Самостоятельно: составить таблицу истинности для сложного логич выражения D = ((А v(В&(¬В)))->В)≡А содержание

Самостоятельно:  составить таблицу истинности для сложного логич выражения D = ((А

v(В&(¬В)))->В)≡А

содержание

Слайд 32

Задание. Составить таблицы истинности для сложных логич выражений А∧(В∨¬В∧¬С) а+(в+¬в⇨¬с) а(в¬в⇨¬с) а+(в+¬в)а+(в⇨с) х+z+(¬у+х¬уz)=x+z+¬y содержание

Задание.  Составить таблицы истинности для сложных логич выражений А∧(В∨¬В∧¬С) а+(в+¬в⇨¬с) а(в¬в⇨¬с) а+(в+¬в)а+(в⇨с) х+z+(¬у+х¬уz)=x+z+¬y

содержание

Слайд 33

Задание: Дан фрагмент таблицы истинности логического выражения F от трех аргументов:

Задание: Дан фрагмент таблицы истинности логического выражения F от трех

аргументов: X, Y, Z : Какое выражение соответствует F? 1) ¬X & ¬Y & ¬Z 2) X & Y & Z 3) X v Y v Z 4) ¬X v ¬Y v ¬Z Решение: 1. Нужно для каждого набора переменных X, Y и Z вычислить по таблице истинности все 4 значения функций, заданных в ответах, и сравнить результаты с соответствующими значениями F для этих данных в исходной таблице. 2. Если для какой-нибудь комбинации X, Y и Z результат не совпадает с соответствующим значением F, оставшиеся строчки можно не рассматривать, тк для правильного ответа все три значения F в исходной таблице должны совпасть со значениями вычисляемой функции F. 3.  Правильный ответ – 4.

содержание

К

Слайд 34

Равносильные логические выражения Равносильные логические выражения - у которых последние столбцы

Равносильные логические выражения

Равносильные логические выражения - у которых последние столбцы таблиц

истинности совпадают. Обозначают “=“. А*В = В*А
Докажите равносильность выражений:

Таблица истинности для

Таблица истинности для

содержание

Слайд 35

Докажи равносильность выражений: А+В+С=В+С+А АВС=ВСА А⬄В=¬А⬄¬В (А+В)С=АС+ВС АВ+С=(А+С)(В+С) ¬(А+В)=¬А¬В ¬(АВ)=¬А+¬В АВ+¬АВ=В (А+В)(¬А+В)=В ¬А(А+В)=¬АВ А+¬АВ=А+В содержание

Докажи равносильность выражений:
А+В+С=В+С+А
АВС=ВСА
А⬄В=¬А⬄¬В
(А+В)С=АС+ВС
АВ+С=(А+С)(В+С)
¬(А+В)=¬А¬В
¬(АВ)=¬А+¬В
АВ+¬АВ=В


(А+В)(¬А+В)=В
¬А(А+В)=¬АВ
А+¬АВ=А+В

содержание

Слайд 36

Выражение называется тождественно ложным (истинным), если оно принимает значение 0 (1)

Выражение называется тождественно ложным (истинным), если оно принимает значение 0

(1) на всех наборах, входящих в него простых высказываний.
А⇨А =1
А∧¬А =0
А∨¬А =1
¬(х∨у)∧(х∧¬у) =0
¬ху∨¬(х∨у)∨х =1

содержание

Тождественные логические выражения

Слайд 37

5. Домашнее задание Даны высказывания: A = «р делится на 5»

5. Домашнее задание

Даны высказывания:
A = «р делится на 5»
В =

«р – нечетное число»
Найти множество значений р на диапазоне (0,15], при которых результат
а) дизъюнкции,
б) конъюнкции
будет:
истинным;
ложным.

содержание

Слайд 38

2. Составьте и запишите истинные сложные высказывания из простых с использованием

2. Составьте и запишите истинные сложные высказывания из простых с использованием

логических операций:
Неверно, что 10>Y>5 и Z<0.
Любое из чисел X, Y,Z положительно.
3. Составьте таблицу истинности для логического выражения:
F = (X & ¬Y) v Z

содержание

Слайд 39

Доп дом задание ●какое тождество записано неверно х+¬х=1, х+х+х+х+х+х+х=1, ххххххх=1 ●дай

Доп дом задание

●какое тождество записано неверно х+¬х=1, х+х+х+х+х+х+х=1, ххххххх=1
●дай название лог

выражению по таблице истинности ав¬в+а¬а+вс¬с (=о, тождественно ложно) ав¬с+авс+¬(а+в) (=1, тождественно истинно)
¬(¬аа)+в(ав+в) ав⬄(¬а+в) ¬((¬а+¬в)( ¬в+с))+ ¬а+с (1)
ав(с+¬е+d) (¬в) а(в(¬а+¬в)) ¬((а→в) ⬄(¬в→¬а)) (0)
((¬а+¬в) →в)( ¬а+в) (простое)
●дай название двум лог выражениям по таблицам истинности (а+в)(¬в+а)(¬с+в) = а(¬с+в)
(а+в+с)а+в+с = ¬ав¬с (равносильные)
●докажи равносильность лог выражений (а⇨в)(а+¬в) и (а⬄в)ав+¬а¬в
●выбрать высказывание, имеющее ту же таблицу истинности, что и не(не а и не (в и с)):
1) а и в или с и а 2) (а+в)(а+с) 3) а(в+с) 4) а+(¬в+¬с)

содержание

Слайд 40

Проверь себя Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5 содержание Проверь себя

Проверь себя

Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5

содержание

Проверь себя

Слайд 41

Задание 1 Расставь соответствующие номера Логика Высказывание Алгебра логики Логическая константа

Задание 1 Расставь соответствующие номера

Логика
Высказывание
Алгебра логики
Логическая константа
Дизъюнкция
Инверсия
Конъюнкция
Импликация
Эквивалентность

А → В
Логическое сложение
Наука о формах

и способах мышления
Логическое отрицание
ИСТИНА и ЛОЖЬ
А ↔ В
&
Наука об операциях над высказываниями
Повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается

содержание

Слайд 42

Даны высказывания: А = { 2 · 2 = 4 }

Даны высказывания: А = { 2 · 2 = 4 } В =

{ 2 + 2 = 5 } Определите истинность высказываний:

Задание 2

А
¬В
A & B
B
¬A
A v B

содержание

Слайд 43

Задание 3 Заполните таблицу истинности для выражения: X v Y & ¬Z содержание

Задание 3

Заполните таблицу истинности для выражения: X v Y & ¬Z

содержание

Слайд 44

Задание 4 Заполните пустые ячейки таблицы истинности содержание

Задание 4

Заполните пустые ячейки таблицы истинности

содержание

Слайд 45

Задание 5 Укажите логическое выражение, соответствующее высказыванию: «В субботу я поеду

Задание 5

Укажите логическое выражение, соответствующее высказыванию: «В субботу я поеду на

дачу и, если будет жарко, то я пойду купаться».
А = «Я поеду на дачу»
В = «Будет жарко»
С = «Я пойду купаться»

F = A v (B → C)
F = (A v B) → C
F = (A & B) → C
F = A & (B → C)

содержание

Слайд 46

Построить таблицу истинности по вариантам f(x1,x2,x3,)=x1x2∨ (x1∨x2)x3∨ x2x3 f(x,y,z) = (y∨

Построить таблицу истинности по вариантам

f(x1,x2,x3,)=x1x2∨ (x1∨x2)x3∨ x2x3
f(x,y,z) = (y∨

xz) ∨ xy
f(a,b,c,d)=(ab∨ c)ab∨ cd∨ abc
y=bc∨ a(bc∨ bc)
f(x1,x2,x3,)=x1x2∨ (x1∨x2)x3∨ x4x3
f(x,y,z) = (xy∨ xyz)xy
f(a,b,c,d)=(ab∨ c)ab∨ cd
y=(ab)c∨ (bc∨ a)
f(x1,x2,x3,)=x1x2 ∨ (x1∨ x2)x3∨ x2x3
f(x,y,z) = (xy∨ xz)x∨ z.

содержание

Слайд 47

Построить таблицу истинности по вариантам f(a,b,c,d)=(ab∨ c)ab ∨ abc y=bc∨ a(bc∨

Построить таблицу истинности по вариантам

f(a,b,c,d)=(ab∨ c)ab ∨ abc
y=bc∨

a(bc∨ ac)
f(x1,x2,x3,)=x1x2∨ (x1x2) ∨ x3
f(x,y,z) = (xy∨ xz ) ∨ xz
f(a,b,c)=(ab∨ c)ab∨ c
y=(ab)c∨ (bc∨ a)
f(x1,x2,x3)=x1x2∨ (x1x2)x3∨ x2x3
f(x,y,z) = (y∨ xyz) ∨xy
f(a,b,c,d)=(ab∨ c)ab∨ abc
y=bc∨ a(bc∨ ac)
f(x1,x2,x3,)=x1x2∨ (x1x2)x3∨ x1

содержание

- Предыдущая
Аттестационная работа. Образовательная программа внеурочной деятельности. Создаем проекты по математики. (5 класс)
Следующая -
Структура арифметической задачи

Похожие презентации

Функция y=cos х, её свойства и график
Отношения и пропорции
Неравенства второй степени с одной переменной
المحاضرة الاولي احصاء سياحي
Обратные тригонометрические функции, их графики и формулы
5 класс
Математическая логика
Сложение и вычитание чисел с разными знаками
Шар. Объём шара
Логарифмы на ЕГЭ
Решение задач
Линейные уравнения (Алгебра – 7 класс)
Как создавалась теорема Пифагора
Скалярное и векторное произведения векторов
Прогрессии
Координаты вектора
Unità di misura
Графики функций, содержащие знак модуля
Корреляция. Причинность. Детерминизм
Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий
Комплексные числа
Среднее арифметическое
Квадрат Пифагора
Прямоугольник
Моделирование алгоритмов вейвлет-преобразования. Матрица гармонического вейвлет-преобразования
Углы в кубе. Расстояния в кубе
Площадь пряиоугольного треугольника
Простейшие тригонометрические уравнения, 10 класс
Вы можете прислать нам Вашу презентацию и мы опубликуем ее на сайте.
Обратная связь
Для правообладателей
Email: Нажмите что бы посмотреть