Основы теории погрешностей и математической статистики

как правило, при увеличении срока службы измерительных средств.

2. Теоретические (методические) погрешности – соответствие, корректность измерительной модели исследуемому объекту, использование упрощений или допущения при вычислении результатов измерений.

Следовательно, необходимо назначать разумный межповерочный интервал.

В зависимости от допустимой погрешности измерения должны или не должны учитывать определенные факторы.

– это погрешности установки прибора и погрешность оператора.

4. Погрешности внешних условий – легко учитываются, если фактор влияния хорошо изучен и постоянно контролируется.

Выявление субъективной систематической погрешности, обусловленной укоренившимся неверным навыком.

систематических погрешностей от внешних воздействий.

1. Устранение источников погрешностей или обеспечение защиты от них до начала измерений

2. Исключение в процессе измерения специальными методами или вычисление и внесение в результат измерения соответствующих поправок.

Метод замещения

Метод противопоставления

Метод симметричных наблюдений

Статистические методы

метод последовательных разностей

дисперсионный анализ

и другие

погрешности наблюдаются реже, чем малые;
с увеличением числа измерений одной и той же величины среднее арифметическое погрешностей стремится к нулю, и, следовательно, среднее арифметическое результатов измерений стремится к истинному значению измеряемой величины.

их интегральных или дифференциальных функций распределения.

Интегральной функцией распределения F(x) называют функцию, значение которой для каждого x является вероятностью появления значений xi (в i-м наблюдении), меньших x:

где Р – символ вероятности события, описание которого заключено в фигурных скобках.

погрешности, с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей:

Поскольку

т.е. площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс равна единице. Вероятность попадания случайной величины x в заданный интервал (x1;x2) равна площади, заключенной между абсциссами x1 и x2:

а достаточно охарактеризовать числами отдельные ее свойства. Такие числовые характеристики называют моментами. Моменты являются начальными, если величины отсчитывают от начала координат, и центральными, если величины отсчитывают от центра распределения.

Математическое ожидание случайной величины представляет собой оценку истинного значения измеряемой величины. Математическое ожидание случайных погрешностей равно нулю.

Дисперсия результатов наблюдений является характеристикой их рассеивания. Имеет размерность квадрата измеряемой величины.

Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений имеет размерность измеряемой величины и наиболее часто используется в качестве основного параметра. Характеризующего рассеивание результатов измерений.

представляется возможным. Для уменьшения вероятности появления промахов измерения проводят два-три раза и за результат принимают среднее арифметическое полученных отсчетов. При многократных измерениях для обнаружения промахов используют статистические критерии, предварительно определив, какому виду распределения соответствует результат измерений.
Вопрос о том, содержит ли результат наблюдений грубую погрешность, решается общими методами проверки статистических гипотез. Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат наблюдения х, не содержит грубой погрешности, т.е. является одним из значений измеряемой величины. Пользуясь определенными статистическими критериями, пытаются опровергнуть выдвинутую гипотезу. Если это удается, то результат наблюдений рассматривают как содержащий грубую погрешность и его исключают.

этому критерию считается, что результат, возникающий с вероятностью q < 0,003 (р=0,997), маловероятен и его можно считать промахом,
если |х̅ -хi| > 3σx , где σx — оценка СКО измерений.
Величины х и σx вычисляют без учета экстремальных значений xi.
Данный критерий надежен при числе измерений n > 20… 50.

отношение |(х̅ - xi)/σX| = β
и сравнивается с критерием βт, выбранным по табл.
Если β ≥ βт, то результат хi считается промахом и отбрасывается.

Значения критерия Романовского

его применении полученные результаты наблюдений записывают в вариационный возрастающий ряд х1, х2, . . ., xn (x1 < х2 < . . .< хп).
Критерий Диксона определяется как КД = (хn - xn-1)/(xn –x1). Критическая область для этого критерия Р(КД > Zq) = q. Значения Zq приведены в табл.

точечной, если она выражается одним числом (среднее арифметическое, среднее квадратическое отклонение, дисперсия, математическое ожидание). Существует несколько методов определения оценок: метод максимального правдоподобия; метод наименьших квадратов.

Смысл оценки параметров с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров.

форма записи доверительного интервала

предложена концепция нового представления результатов измерений.
Ее суть проста: обработка результатов измерений практически везде проводится с использованием аппарата теории вероятностей и математической статистики и везде погрешности разделяются на случайные и систематические. Однако модели погрешностей, значения доверительных вероятностей и формирование доверительных интервалов в разных странах заметно отличаются друг от друга, что затрудняет сличение результатов измерений.
Для устранения этих сложностей было разработано «Руководство по выражению неопределенности в измерении».