Параллельность и перпендикулярность

особенности их взаимного расположения используют в строительстве, технике, искусстве.
Теория параллельных занимает одно из центральных мест в науке «геометрия».
Именно свойства параллельных прямых определяют основные свойства изучаемого нами пространства.

равный 90 градусов.
Изобразим прямой угол и продолжим его стороны за вершину.

☻

☻

O

В

А

a

b

Мы получили две прямые,
пересекающиеся
под прямым углом.

Две прямые,
пересекающиеся
под прямым углом (90°),
называются
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ.

провести только одну прямую, перпендикулярную этой прямой и пересекающую ее.
2. Если точку взять на самой прямой, то через эту точку проходит бесконечное число прямых, перпендикулярных данной прямой.

будет лежать в плоскости тетради, а все остальные прокалывать тетрадь
в данной точке.
Они будут находиться
в пространстве
(вне плоскости листа);
это похоже на дорожный столб, стоящий на перекрестке дорог:
столб перпендикулярен каждой дороге (рис. 2).

Рис. 2 Рис. 3

3. Две прямые на плоскости, перпендикулярные третьей прямой, не могут пересечься одна с другой (рис. 3).
Если бы они пересеклись, например, в точке С, то мы получили бы треугольник ABC,
у которого два прямых угла,
что невозможно.
На плоскости такого
не может быть.

Они перпендикулярны друг к другу,
но все меридианы пересекаются
в одной точке — на ПОЛЮСЕ.
Однако вернемся к плоскости.
Итак, свойство 3 говорит о том,
что на плоскости существуют непересекающиеся прямые.

Две прямые на плоскости называются ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ,
если они не пересекаются.

a

b

параллельных между собой прямых.
На рисунке 4-в прямые m и n параллельны.
Этот факт записывается так: m║n
Читаем: прямая m параллельна прямой n
Выбор именно такого знака достаточно понятен,
не так ли?

Рис. 4

а б

Используя линейку и
чертежный угольник,
можно без труда
вычерчивать
параллельные прямые

его помощью можно проводить прямые, перпендикулярные данной прямой (рис. 5).
Или, как говорят, опускать на данную прямую перпендикуляры или восставлять к ней перпендикуляры.
То, что прямые m и n перпендикулярны, записывается так: m n.

С помощью циркуля и линейки также можно строить параллельные и перпендикулярные прямые.
Предлагаемые ниже способы построения интересны и тем,
что число проводимых при построении линий будет
наименьшим из возможных.

Рис. 5

этой прямой (рис. 6).
Проведем через точку А любую окружность, пересекающую прямую ℓ (рис. 6).
Возьмем одну из точек пересечения окружности с прямой — точку В, измерим циркулем отрезок АВ и проведем окружность радиусом, равным АВ, с центром в точке В1. Появится точка А1.

Прямая, проходящая через точки А и А1,
параллельна прямой ℓ.

Рис. 6

вне этой прямой.

Для построения перпендикуляра достаточно с помощью
циркуля провести через А две произвольные окружности с
центрами на прямой ℓ (рис.7).
Вторая точка пересечения этих окружностей (точка А1)
и даст нам вторую точку на перпендикуляре.
Подумайте, как провести перпендикуляр (с помощью циркуля и линейки), если точка А лежит на прямой ℓ…

Поэтапное построение

прямой ℓ,
а В — точка пересечения перпендикулярных прямых ℓ и m (рис. 8), то,
отрезок АВ есть кратчайшее расстояние
от точки А до прямой m

ℓ

m

☻

A

B

Рис. 8

Итак,
если мы хотим из точки А
по кратчайшему пути попасть на прямую m, то двигаться надо по перпендикуляру
к прямой m

практике мы имеем дело не с прямыми, а лишь с их частями — отрезками, лежащими на этих прямых.
Отрезки, лежащие на параллельных прямых, также называются ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ, а
на перпендикулярных - ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ.

9 изображен куб.

Рис. 9

С

Три четверки его ребер параллельны между собой.
Вот одна из них: АВ || DC || АХВХ || DXCX.
1. Назовите еще две четверки параллельных между собой ребер куба.

Ребро АА1 перпендикулярно ребрам АВ, А1В1, AD и A1D1.
Угол между ребром АА1 и каждым из этих ребер равен 90°.
2. Назовите ребра, перпендикулярные:
а) ребру СС1; б) ребру DC.

плоскости передней грани;
в этой же плоскости лежат и плоскости передней грани;
в этой же плоскости лежат и ребра А1В1 и АВ.

Рис. 9

С

Через ребра АА1 и СС1
также можно провести
плоскость — АА1С1С
(диагональное сечение куба).

которая бы проходила через оба эти отрезка
(а также через прямые АА1 и D1C1).
Такие отрезки и прямые называются СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ.
Какую бы плоскость мы ни провели через АА1, обязательно прямая D1C1 либо пересечет ее в какой-либо одной точке,
либо не пересечет никогда.
3. Найдите еще несколько пар скрещивающихся ребер куба AC1.

С

Обозначение:

a

b

☻

Читают:
прямые
a и b - скрещивающиеся

перпендикулярных прямых, встречающихся в окружающем нас мире.
Участники поочередно называют примеры таких прямых.
Игра заканчивается, как только в течение минуты никто не может придумать новый пример.
Побеждает тот, чей пример был последним.

(не являющиеся его ребрами),
такие, чтобы они были:
а) параллельными;
б) перпендикулярными;
в) скрещивающимися.

С

этапы и линии,
на альбомном листе А-4.