Тригонометрические уравнения. Однородные тригонометрические уравнения

Однородные тригонометрические уравнения первой степени

Уравнение вида a sin x + b

Пример 1.

Решите уравнение:

Пример 1. Решение
Разделим обе части на
Получим:
Ответ: ,

Пример 2.

Решите уравнение:

Пример 2. Решение
По формулам приведения преобразуем обе части уравнения:
Получим

Пример 2. Решение
Разделим обе части на
Ответ: ,

Однородные тригонометрические уравнения второй степени

Уравнение вида
a sin2 x + b

Алгоритм решения уравнения

a sin2 x + b sin x cos x

Алгоритм решения уравнения

a sin2 x + b sin x cos x

Пример 3.

Решите уравнение:

Пример 3. Решение
Разделим обе части на , получим:
Введем новую переменную z=tg

Пример 3. Решение

Значит ,
Из первого уравнения получаем:
, т.е.
Из второго уравнения

Пример 4.

Решите уравнение:

Пример 4. Решение
Выносим за скобку :
Решаем два уравнения:
и
из первого

Пример 4. Решение
Делим обе части на :
Ответ: , ,

Пример 5.

Решите уравнение:

Пример 5. Решение
Обратим внимание на то, что уравнение в правой части

Пример 5. Решение

Подставив в изначальное уравнение полученное выражение получим:
Приведем к виду

Пример 5. Решение
Разделим обе части почленно на :
Введем новую переменную :