Понятие множества. Логические символы

1. МНОЖЕСТВА
1.1. ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА.
ЛОГИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ.

Логические символы.

∈- знак принадлежности
∀- квантор всеобщности
∃- квантор существования
⇒-

Множества. Способы задания.
{a} - одноэлементное множество;
∅- пустое множество
Действительные корни уравнения
∃

Отношения между множествами.

Определение 1.1. Множества A и B называются равными, если

Пример:

Свойства равенства:

A=A (рефлексивность);
A=B, B=C ⇒ A=C (транзитивность);
A=B ⇒ B=A (симметричность).
Неравенство множеств

Определение 1.2.

Множество A (A ≠ ∅) называется подмножеством множества B

1.2. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ.

V – основное или универсальное множество.
1) В планиметрии

Диаграмма Эйлера-Венна.

Свойства объединения множеств.

1) A ⎩⎭ B = B ⎩⎭ A (коммутативность),
2)

Определение 1.4.

Пересечением множеств A и B называется множество A ⎧⎫ B,

Диаграмма Эйлера-Венна.

Свойства пересечения множеств.

1) A ⎧⎫ B = B ⎧⎫ A (коммутативность),
2)

Определение 1.5.

Разностью двух множеств B и A называется множество B \

Диаграмма Эйлера-Венна.

Определение 1.6.

Разность V \ A называется дополнением множества A до универсального

Диаграмма Эйлера-Венна:

Пара элементов ( x ; y ), x ∈ A, y

Определение 1.7.

Декартовым произведением двух множеств A и B называется множество, обозначаемое

y

1.3. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МНОЖЕСТВ.

Пусть A и B - произвольные множества.
Пусть

Определение отображения:

f : A → B ⇔ ∀ a ∈ A

Определение 1.8.

Отображение f : A → B называют взаимно однозначным или

ЛЕКЦИЯ 2
2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

f – взаимно однозначное отображение ⇔ ∀ b ∈ B ∃

Пример:

Определение 1.10.

Два множества A и B называются эквивалентными (равномощными), если ∃

1.4. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА.

Множество натуральных чисел N.
N = {1, 2, 3, …}.
Свойства:
1)

Множество целых чисел Z.

Z = { …, -2, -1, 0, 1,

Множество рациональных чисел Q.

Q = { q = p / n

Множество действительных чисел R.

Свойства:
R – упорядоченно;
R –бесконечно;
N ⊂ Z ⊂ Q

2.1 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ.

Пусть D – произвольное подмножество действительных чисел

Термины функция, отображение, преобразование – синонимы.
Обозначения: y=f(x); f: D→E;
В данной

Аналитический способ задания функций.

С помощью формул
Частное значение функции:
Область определения либо указывают

Пример:

Составные функции:

Неявно заданные функции:

F(x,y)=0
Если уравнение можно разрешить относительно y, то приходим к

Табличный способ задания функций.
Примеры: таблицы ln, sin и т. д.
+ Точное

Графический способ задания функций.

Не является графиком функции:
+ Наглядность.
- Неудобность для применения математического аппарата.

2.2 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ. Начальный этап исследования функции.

1) Нули f(x)=0

4) Монотонность: монотонно возрастающая, если
монотонно убывающая, если
5) Ограниченность:
ограниченная

2.3 СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ.

Сложная функция.
На D определена функция u=ϕ(x) →

Обратная функция.

Функция y=f(x) отображает D(f) → E(f).
Рассмотрим взаимно однозначное отображение
Тогда

Теорема 2.1.

Если числовая функция монотонна, то ∃ обратная функция
Это достаточное

Построение графика обратной функции.

2.4. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.

1) Линейная: y=ax+b (a,b∈R), D(f)=R.

2) Квадратичная функция.

3) Степенная функция

4) Показательная функция.

5) Логарифмическая функция

y = ch x

6) Тригонометрические функции.
7) Обратные тригонометрические функции.
8) Гиперболические

ЛЕКЦИЯ 3
2. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

2.5. КЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ.

1) Целые рациональные функции:
2) Дробно-рациональные функции:
Совокупность 1) и 2)

2.6. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ.

t – называется параметром.
Если ϕ - монотонна,

Пример:
а) Введем
Тогда
б) а) Введем
Тогда

Параметрическое задание линий на плоскости.

Множество точек M(x,y) плоскости координаты которых удовлетворяют

Окружность с центром в начале координат.

Парабола.
Гипербола.

Астроида.