Применение производной и первообразной. Подготовка к ЕГЭ

данной точке.

Чему
равен ее угловой коэффициент?

y=kx+b

y=kx

положение касательной. То есть, касательная есть предельное положение секущей.

Секущая

1. Геометрический смысл производной.

Р

Р1

производной
Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

t – это предел средней скорости при стягивании отрезка, на котором она изменяется, в точку t или в символической записи

2. Механический смысл производной.

Производная

- это скорость

смысл производной.

абсциссу точки касания.
Решeние: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой  их угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения y´=7 :
(x²+6x-8)´=7; 2x+6=7; x=0,5
Ответ: 0,5.

интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решeние: Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−3; 0) и (4,6; 7). В них содержатся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.
Ответ: 4.

5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

Решeние: Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней в 4 точках.
Ответ: 4.

(−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Решeние: Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.
Ответ: 44.

на интервале  . В какой точке отрезка  функция  принимает наибольшее значение?

Решeние: На заданном отрезке производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке −3.
Ответ: −3.

интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].

Решeние: Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной — изображенным на графике нулем производной. Производная обращается в нуль в точках −6, −2, 2, 6, 9. На отрезке [−10; 10] функция имеет 5 точек экстремума.
Ответ: 5.

интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решeние: Промежутки возрастания данной
функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная положительна, то есть интервалам (−7; −5,5), (−2,5; 4). Данные интервалы содержат целые точки –6, –2, –1, 0, 1, 2, 3. Их сумма равна –3.
Ответ: –3.

интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x−11 или совпадает с ней.

Решeние: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −2x−11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых y'(x0) = −2, геометрически это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2. На данном интервале таких точек 5.
Ответ: 5.

нему в точке с абсциссой x0.
Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решeние: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB
Ответ: 2.

в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решeние: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 4), B (2; 2), C (−6; 2). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB. Поэтому
Ответ: 0,25.

нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Решeние: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точкахA (−2; −9), B (−2; −3),C (−5; −3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB. Поэтому
Ответ: -2.

начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f'(8).

Решeние: Поскольку касательная проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид y = kx. Эта прямая проходит через точку (8; 10), поэтому k = 1,25. Поскольку угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, получаем: f'(8) = 1,25.
Ответ: 1,25.

. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику  y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Решeние: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, она имеет вид  y=b, и её угловой коэффициент равен 0. Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент, равен нулю, а значит, и производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс. Поэтому искомая точка  x=-3
ответ: -3.

на интервале (−1;12). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой
y=-12  .

Решeние:
Поскольку касательная параллельна прямой  y=-12, её угловой коэффициент равен 0. Следовательно, необходимо найти точки, в которых угловой коэффициент касательной, равен нулю. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поэтому необходимо найти точки, в которых производная равна нулю. Это точки экстремума, их 7.
Ответ: 7.

(−5; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Решeние: Производная изображенной на рисунке функции f(x) равна нулю в точках экстремумов: −4,7; 1,4; 2,6 и 4,2. Производная равна нулю в 4 точках.
Ответ: 4.

на протяжении 11 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки Адо точки М со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат − расстояние s в метрах. Определите, сколько раз точка М меняла направление движения.

Решeние: В момент времени, когда точка меняет направление движения, ее мгновенная скорость равна нулю. Мгновенная скорость равна производной перемещения по времени. Значение производной равно нулю в точках экстремума функции s(t). Точек экстремума на графике 8.
Ответ: 8.

расстояние от точки отсчета в метрах,  t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.
Решeние: Найдем закон изменения скорости:
V(t)=x´(t)=12t-48
При t = 9 c имеем:
V(9)=12*9-48=60 м/с.
Ответ: 60.

расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
Решeние: Найдем закон изменения скорости: v(t)=x´(t)=2t-13м/с. Чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, решим уравнение: 2t-13=3;
2t=16; t=8c.
Ответ: 8.

точек на оси абсцисс:  x₁;x₂; x₃;…; x₈. В скольких из этих точек производная функции   положительна?
Решeние:
Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция y=f(x) возрастает. На них лежат точки  x₁;x₂; x₅; x₆; x₇. Таких точек 5.
Ответ:5.

касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции y=f(x)  в точке  x₀.

Решение:
Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках  A(5;8), B(5;-2) и C(0;-2). Угол ACB равен углу наклона касательной. Его тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
Ответ: 2.

оси абсцисс: x₁;x₂; x₃;…; x₁₂ В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решeние: Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция f(x) убывает. В этих интервалах лежат точки  x₄; x₅; x₆; x₇; x₈; x₁₁; x₁₂. Таких точек 7.
Ответ:7.

−2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Решeние: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная положительна в точках −2 и 2. Угол наклона (и его тангенс) явно больше в точке −2.
Ответ:−2.

−2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Решeние: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.
Ответ:4.

обозначается

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

где f(x) – подинтегральная функция,
f(x)dx – подинтегральное выражение (дифференциал),
с – постоянная интегрирования.

фигура,
ограниченная графиком непрерывной и не меняющей
на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми
х=а, x=b и отрезком [а;b].

первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (−3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [−2;4].

Решeние: По определению первообразной на интервале
(−3; 5) справедливо равенство: f(x)=F´(x)
Следовательно, решениями уравнения f(x)=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x). Это точки −2,6; −2,2; −1,2; −0,5; 0; 0,4; 0,8; 1,2; 2,2; 2,8; 3,4; 3,8. Из них на отрезке [−2;4] лежат 10 точек. Таким образом, на отрезке [−2;4] уравнение f(x)=0  имеет 10 решений.
Ответ:10.

луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8)-F(2), где F(x)—одна из первообразных функцииf(x).

Решение:
Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции ABCD.  Поэтому
F(b)-F(a)=(1+6)/2*2=7
Ответ:7.

. Функция F(x)=-3x³-27x²-240x-8 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решeние: Найдем формулу, задающую функцию  f(x), график которой изображён на рисунке.

Следовательно, график функции f(x) получен сдвигом графика функции y=3-3x² на 9 единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции y=3-3x²  и отрезком   оси абсцисс. Имеем:
Ответ: 4.