Признаки равенства треугольников. Реши задачу!

равны по первому признаку равенства треугольников (АВ=АС, АD = AE, угол A общий). Следовательно, равны соответствующие стороны BD и CE этих треугольников.

точка B лежит на стороне AC, а точка E – на стороне AD, причем AC = AD и AB = AE. Докажите, что угол CBD равен углу DEC.

Решение. Треугольники ABD и ACE равны по первому признаку равенства треугольников (AC = AD, АВ=АС, угол A общий). Следовательно, равны соответствующие углы ABD и AEC. Из равенства этих углов следует равенство смежных углов CBD и DEC.

что AC = BD.

Решение. Треугольники ABC и BAD равны по первому признаку равенства треугольников (AB – общая сторона, BC = AD, угол ABC равен углу BAD). Следовательно, равны соответствующие стороны AC и BD этих треугольников.

лежат по разные стороны от этой прямой. Докажите, что если треугольники ABD1 и ABD2 равны, то треугольники BCD1 и BCD2 тоже равны.

Решение. Из равенства треугольников ABD1 и ABD2 следует равенство соответствующих сторон BD1 и BD2, а также равенство соответствующих углов ABD1 и ABD2. Из равенства указанных углов следует равенство смежных с ними углов CBD1 и CBD2. Треугольники BCD1 и BCD2 равны по первому признаку равенства треугольников (BD1 = BD2, BC – общая сторона, угол CBD1 равен углу CBD2.

E2 лежат по разные стороны от этой прямой. Докажите, что если треугольники ABE1 и ABE2 равны, то треугольники CDE1 и CDE2 тоже равны.

Решение. Из предыдущей задачи следует, что из равенства треугольников ABE1 и ABE2 вытекает равенство треугольников BCE1 и BCE2, которое, в свою очередь, влечет равенство треугольников CDE1 и CDE2.

BE, CF. Докажите, что треугольник DEF тоже правильный.

Решение. Из равенства сторон правильного треугольника и равенства отрезков AD, BE и CF следует равенство отрезков AF, CE и BD. Треугольники ADF, BED и CFE равны по первому признаку равенства треугольников (AD = BE = CF, AF = BD = CE, угол A равен углу B и равен углу C). Следовательно, равны соответствующие стороны DF, DE и EF этих треугольников. Значит, треугольник DEF тоже правильный.

BD, CE, AF. Докажите, что треугольник DEF тоже правильный.

Решение. Из равенства сторон правильного треугольника ABC и равенства отрезков BD, CE и AF следует равенство отрезков AD, BE и CF. Из равенства углов правильного треугольника ABC следует равенство углов FAD, DBE и ECF. Треугольники ADF, BED и CFE равны по первому признаку равенства треугольников (AD = BE = CF, AF = BD = CE, угол FAD равен углу DBE и равен углу ECF). Следовательно, равны соответствующие стороны DF, DE и EF этих треугольников. Значит, треугольник DEF тоже правильный.

равен углу EDF, угол 1 равен углу 2. Докажите, что треугольники АВС и DEF равны.

Решение. Из равенства углов 1 и 2 следует равенство смежных углов ACB и DFE. Из равенства отрезков AD и CF следует равенство отрезков AC и DF. Треугольники ACB и DFE равны по второму признаку равенства треугольников (AC = DF, угол ВAC равен углу EDF, угол ACB равен углу DFE).

углу 2, OC = OD. Докажите, что OA = OB.

Решение. Из равенства углов 1 и 2 следует равенство смежных с ними углов ACO и BDO. Треугольники ACO и BDO равны по второму признаку равенства треугольников (CO = DO, угол ACO равен углу BDO, угол AOC равен углу BOD). Следовательно, равны соответствующие стороны OA и OB этих треугольников.

и BD образуют со стороной АВ равные углы. Докажите, что АС = BD.

Решение. Треугольники ABC и BAD равны по второму признаку равенства треугольников (AB – общая сторона, угол ABC равен углу BАD, угол BAC равен углу ABD. Следовательно, равны соответствующие стороны АС и BD этих треугольников.

сторонами соответственно СВ и С1В1 равные углы. Докажите, что AD = A1D1.

Решение. Из равенства треугольников АВС и А1В1С1 следует равенство соответствующих сторон BC и B1C1, а также соответствующих углов B и B1. Треугольники BCD и B1C1D1 равны по первому признаку равенства треугольников (BC = B1C1, угол B равен углу B1, угол BCD равен углу B1C1D1). Следовательно, равны соответствующие стороны BD и B1D1 этих треугольников. Из равенства треугольников АВС и А1В1С1 следует равенство соответствующих сторон AB и A1B1. Следовательно, имеет место равенство отрезков AD и A1D1.

что угол A равен углу C.

Решение. В четырехугольнике ABCD проведем диагональ BD. Треугольники ABD и CDB равны по третьему признаку равенства треугольников (AB = CD, AD = BC, BD – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы A и C этих треугольников.

что угол BAD равен углу ABC.

Решение. Треугольники ABC и BAD равны по третьему признаку равенства треугольников (AD = BC, AC = BD, AB – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы BAD и ABC.

Докажите, что угол 1 равен углу 2.

Решение. Из равенства отрезков AD и CF следует равенство отрезков AC и DF. Треугольники ABC и FED равны по третьему признаку равенства треугольников (AB = FE, BC = ED, AC = FD). Следовательно, равны соответствующие углы ACB и FDE этих треугольников, а, значит, равны и смежные с ними углы 1 и 2.