Шар. Сечение шара плоскостью. Касательная плоскость к шару. Сфера и шар

взаимного расположения шара и плоскости (сечения шара плоскостью);

План:

Понятие шар
Понятие сфера
Уравнение сферы
Взаимное расположение сферы и плоскости
Касательная плоскость к сфере
Площадь сферы

на данном расстоянии от данной точки.

Данная точка – центр сферы, а данное расстояние-
-радиус сферы.

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы,
также является радиусом. Отрезок, соединяющий две точки сферы
и проходящий через её центр- диаметр(=2R)

получена вращением полуокружности АВС вокруг её диаметра АВ.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Центр, радиус и диаметр сферы- центр, радиус и диаметр шара.
Шар с радиусом R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая точку О), и не содержит других точек.

поверхность f,например плоскость или сфера.
Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F,если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

М(x;y;z)до точки С вычисляется по формуле:
2 2 2
МС= (x-x0)+(y-y0)+(z-z0)
2 2
Если точка М лежит на данной сфере, то М=R, т.е. МС=R,
то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению
2 2 2 2
(x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=R
Если же точка М не лежит на данной сфере, то МС=R,
т. е. координаты точки М не удовлетворяют первому уравнению.
В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С(x;y;z) имеет вид
2 2 2 2
(x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=R

– d.
Введем систему координат :плоскость Оxy совпадает с плоскостью, а центр С сферы лежит на положительной полуосиOz.
В этой системе С имеет координаты (0;0; d),поэтому сфера имеет уравнение

2 2 2 2
x +y +(z -d)=R

Плоскость а совпадёт с плоскостью Oxy, значит z=0.
Вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений:

z=0
2 2 2 2
x +y +( z- d)=R

Подставив z=0 во второе уравнение получим:

2 2 2 2
x +y=R- d.

радиуса 2 2
r = R-d
с центром в точке О на плоскости Oxy.В данном случае сфера и плоскость пересекаются по окружности.

Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы- окружность

2.d=R,тогда 2 2
R-d=0,
И ур-нию удовлетворяют значения x=0,y=0.Значит О(0;0;0),то есть

Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы0
то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

3.d>R,тогда 2 2
R-d<0,
И уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки.

Если расстояние от центра до плоскости больше радиуса сферы,
то сфера и плоскость не имеют общих точек.

касательной плоскостью к сфере, а их общая точка- точка касания плоскости и сферы.
На рисунке плоскость а- касательная плоскость к сфере с центром О,
а А-точка касания.

а

касательной плоскости.

Доказательство:
Рассмотрим рисунок, показанный ранее. Предположим, что радиус
не перпендикулярен к плоскости. Тогда он является наклонной к плоскости а, то есть расстояние от сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то есть они пересекаются по окружности, а это невозможно, так как а- касательная. Значит радиус перпендикулярен к плоскости, ч. т. д.

Обратная теорема: если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость- касательная к сфере

Доказательство:
Из условия следует, что радиус- перпендикуляр, проведённый из центра сферы к плоскости. Значит, расстояние от центра сферы до плоскости = радиусу, сфера и плоскость имеют одну общую точку, то есть данная плоскость- касательная к сфере, ч. т. д.