Производная функции. Геометрический смысл производной. учитель математики ГОУ СОШ №223 Платова Н.Ю.

Сентябрь 1, 2022

Главная
Математика
Производная функции. Геометрический смысл производной. учитель математики ГОУ СОШ №223 Платова Н.Ю.

Содержание

2. Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос,
3. Производная — это скорость изменения функции.
4. На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?
5. Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:
6. Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем? На самом деле
7. Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке
8. В качестве угла наклона мы берем угол между касательной и положительным направлением оси OX
9. Проходящую через точку (x0;f (x0;)) прямую, с отрезком которой практически сливается график функции f при значениях
10. Найдем k=tg α С помощью графика мы нашли производную, не зная формулы функции. (В 8)
11. Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная
12. У одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же
13. В точке А функция возрастает. Касательная образует острый угол с положительным направлением оси ОХ. Значит производная
14. В точках максимума и минимума касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен
16. Возможен случай, когда производная в какой-то точке равна нулю, но в этой точке она не меняет
18. Скачать презентацию

Слайд 2

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос,

что такое производная.

Слайд 3

Производная
— это скорость изменения функции.

Слайд 4

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Слайд 5

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение

года:

Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Слайд 6

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?
На самом деле

мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Слайд 7

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём

в этой точке касательную к графику функции.

Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Слайд 8

В качестве угла наклона мы берем угол между касательной и

положительным направлением оси OX

Слайд 9

Проходящую через точку (x0;f (x0;)) прямую, с отрезком которой практически

сливается график функции f при значениях х, близких к х0, называют касательной к графику функции f в
точке (х0; f (х0)).

Слайд 10

Найдем k=tg α
С помощью графика мы
нашли производную, не
зная формулы

функции.
(В 8)

Слайд 11

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой

точке.

Производная функции равна тангенсу угла наклона касательной.

Слайд 12

У одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же

связана производная с поведением функции.

На одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. Кроме того у этой функции есть точки максимума и минимума.

Слайд 13

В точке А функция
возрастает. Касательная
образует острый угол с
положительным
направлением оси ОХ.
Значит

производная
положительна.

В точке В функция
убывает. Касательная
образует тупой угол с
положительным
направлением оси ОХ.

Значит производная
отрицательна.

Если функция возрастает – ее производная положительна,
если убывает, то отрицательна.

Слайд 14

В точках максимума и минимума касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной

в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.
Точка C— точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».
В точке D — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Слайд 15

Слайд 16

Возможен случай, когда производная в какой-то точке равна нулю, но

в этой точке она не меняет знак.
В точке Е нет ни максимума, ниминимума. Это точка перегиба.