Расчёт неизотермического течения вязкоупругой полимерной жидкости между двумя соосными цилиндрами с контролем погрешности

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Расчёт неизотермического течения вязкоупругой полимерной жидкости между двумя соосными цилиндрами с контролем погрешности

Содержание

2. По оценкам Wohlers Report 2015 к 2020 г. международный рынок аддитивных технологий достигнет 21,2 млрд долларов
3. автомобилестроение авиастроение военная и космическая отрасли медицина производство потребительских товаров и электроники производство средств производства Наиболее
4. Модели течения растворов и расплавов полимеров 1) Феноменологические модели учитывают свойства течений жидкости, наблюдаемые в эксперименте
5. Постановка задачи 2) Блохин А. М., Семисалов Б. В. Стационарное течение несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости в
6. Уравнение модели β – феноменологический параметр реологической модели, учитывающий ориентацию макромолекулярного клубка Re – число Рейнольдса
7. Численное решение Используем итерационный метод установления. Вводим Временную переменную t для итерации Регуляризующий оператор (регуляризацию) Оператор
8. Численное решение = Введём сетку по временной переменной t с шагом τ и узлами Приблизим конечной
9. Алгоритм численного решения Для приближения решения используем интерполяционный полином в форме Лагранжа с узлами в нулях
10. Сведение к задаче линейной алгебры Для аппроксимации первой и второй производной получаем Спектральное разложение 10/21
11. Численные результаты Конечно-разностными методами решения найдены для r0 не меньше 0.15! А.М Блохин, Р.Е Семенко. Течение
12. Результаты, полученные для малого r0 β=0.1, D=1, EA=9, W=0.001 Θ=0 – нагрев отсутствует Θ=9 – нагрев
13. Контроль погрешности Погрешность численного решения: - Вычислительная погрешность, связанная с округлением действительных чисел в памяти ЭВМ
14. //А.М. Мацокин, С.Б.Сорокин «Численные методы» гл.4, пар.3, стр.78 14/21 Верхняя оценка (5)
15. 15/21 Погрешность метода Пусть – нечетное количество узлов. Тогда 0 – узел интерполяции Наблюдая за поведением
16. 16/21 Погрешность метода 1) Bernstein S.N. "On the Best Approximation of Continuous Functions by Polynomials of
17. Определение величины 17/21 , (8) (6)
18. Сплошная – Пунктир - 18/21 Графики компонент погрешности и в логарифмической шкале
19. Основные результаты Для мезоскопической модели Покровского-Виноградова дана постановка задачи о стационарном неизотермическом течении вязкоупругой полимерной жидкости
20. Список публикаций Блохин А.М., Круглова Е.А., Семисалов Б.В. Стационарные неизотермические течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости между
21. Спасибо за внимание! Круглова Е.А гр. 13111 Научный руководитель: Семисалов Б.В
22. Выступления на спецсеминарах: 1) «Проекционные методы решения PDE» (руководитель: Шапеев В.П) 2) «Вычислительная топология» (руководитель: Базайкин
23. Модель Покровского - Виноградова Здесь t – время; u,v,w – компоненты вектора скорости в декартовой с.к.
24. Уравнение движения модели Покровского-Виноградова Силы давления Силы вязкоупругого сопротивления Сила, связанная с конвекцией в поле тяжести
25. Пример устанавливающегося течения для уравнений Навье-Стокса y x -1 1 g (1) - уравнение неразрывности В
26. Пример устанавливающегося течения для уравнений Навье-Стокса Ищем стационарное решение Пуазейля (3) (4) (5) Добавим условия прилипания
27. -0.5 9 0.01 0.1 0.1 Положительные и отрицательные значения решения
28. К. И. Бабенко Основы численного анализа, 2002 Метод, обладающий асимптотикой погрешности наилучшего приближения для любой степени
29. - пространство алгебраических или тригонометрических многочленов степени N N Конечно-разностные методы, методы конечных элементов Методы без
30. Уравнение модели β – феноменологический параметр реологической модели, учитывающий ориентацию макромолекулярного клубка Re – число Рейнольдса
31. Сведение к задаче линейной алгебры Обозначим Тогда Ответ получим из Домножим на
32. Анализ величин обусловленности и норм аппроксимирующих матриц Условия Дирихле Условия Неймана
33. Основные оценки Элементы массива решения имеют погрешности - массив, элементы которого суть возмущения элементов; - максимальное
35. Скачать презентацию

Слайд 2

По оценкам
Wohlers Report 2015
к 2020 г. международный рынок аддитивных

технологий достигнет
21,2 млрд долларов США.

2/21

Слайд 3

автомобилестроение
авиастроение
военная и космическая отрасли
медицина
производство потребительских товаров и электроники
производство средств производства
Наиболее востребованные

направления применения аддитивных технологий

3/21

Слайд 4

Модели течения растворов и расплавов полимеров
1) Феноменологические модели
учитывают свойства течений

жидкости, наблюдаемые в эксперименте на макроуровне

2) Микроструктурные модели
учитывают свойства макромолекул и их взаимодействие в полимере

3) Мезоскопические модели
задают динамику макромолекул с параметрами, определяемыми в эксперименте на макроуровне
Pokrovskii V. N. The Mesoscopic Theory of Polymer Dynamics. 2nd ed. Berlin: Springer, 2010.

4/21

Слайд 5

Постановка задачи
2) Блохин А. М., Семисалов Б. В. Стационарное течение несжимаемой

вязкоупругой полимерной жидкости в канале с эллиптическим сечением // Сибирский журнал индустриальной математики. 2014. Т. XVII. №4 (60). С. 38–47.

1) Алтухов Ю. А., Гусев А. С., Пышнограй Г. В. Введение в мезоскопическую теорию текучести полимерных систем. Барнаул: изд-во АлтГПА, 2012.

5/21

Слайд 6

Уравнение модели
β – феноменологический параметр реологической модели, учитывающий ориентацию макромолекулярного клубка
Re

– число Рейнольдса
W – число Вейсенберга
Ra – число Релея
Pr – число Прандтля
Ậ - перепад давления вдоль Ох
ЕА – энергия активации
θ – относительная разность температур между цилиндрами
Ф - температурный фактор
Ga – число Грасгофа

Блохин А. М., Круглова Е. А., Семисалов Б. В. Стационарные неизотермические течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости между двумя соосными цилиндрами // /Журн. выч. мат. и мат. физ. 2017. Т. 57. № 7, C. 99-112

6/21

(1)

Слайд 7

Численное решение
Используем итерационный метод установления.
Вводим
Временную переменную t для итерации
Регуляризующий

оператор (регуляризацию)

Оператор Соболева

7/21

Слайд 8

Численное решение
=
Введём сетку по временной переменной t с шагом τ и

узлами

Приблизим конечной разностью

Критерий остановки: - невязка установления

8/21

(2)

Слайд 9

Алгоритм численного решения
Для приближения решения используем интерполяционный полином в форме Лагранжа

с узлами в нулях многочленов Чебышёва

9/21

(3)

(4)

Слайд 10

Сведение к задаче линейной алгебры
Для аппроксимации первой и второй производной получаем
Спектральное

разложение

10/21

Слайд 11

Численные результаты
Конечно-разностными методами решения найдены для r0 не меньше 0.15!
А.М Блохин,

Р.Е Семенко. Течение несжимаемой полимерной жидкости между двумя соосными цилиндрами

11/21

Слайд 12

Результаты, полученные для малого r0
β=0.1, D=1, EA=9, W=0.001
Θ=0 – нагрев отсутствует
Θ=9

– нагрев изнутри

Θ=-1 – нагрев снаружи

1 – r0=0.2
2 – r0=0.1
3 – r0=0.01
4 – r0=0.001
5 – r0=0.0002

12/21

Слайд 13

Контроль погрешности
Погрешность численного решения:
- Вычислительная погрешность, связанная с округлением действительных чисел

в памяти ЭВМ

- Погрешность использования метода приближения

Число записывается в память ЭВМ так: , где

Для типа double l = 16

13/21

Слайд 14

//А.М. Мацокин, С.Б.Сорокин «Численные методы» гл.4, пар.3, стр.78
14/21
Верхняя оценка
(5)

Слайд 15

15/21
Погрешность метода
Пусть – нечетное количество узлов. Тогда 0 – узел интерполяции

Наблюдая за поведением величины можем сделать вывод о характере сходимости метода

(6)

(7)

(8)

(9)

Слайд 16

16/21
Погрешность метода
1) Bernstein S.N. "On the Best Approximation of Continuous Functions

by Polynomials of a Given Degree",
Soobshch. Khar'kov Mat.Obshch 13, 49--144 (1912)
2) Jackson D.} On Approximation by Trigonometric Sums and Polynomials
// Trans. Amer. Math. Soc. 1912. Vol. 13. 491 -- 515

Слайд 17

Определение величины
17/21
,
(8)
(6)

Слайд 18

Сплошная – Пунктир -
18/21
Графики компонент погрешности и в логарифмической шкале

Слайд 19

Основные результаты
Для мезоскопической модели Покровского-Виноградова дана постановка задачи о стационарном неизотермическом

течении вязкоупругой полимерной жидкости между двумя соосными цилиндрами
Разработан вариант численного алгоритма без насыщения, позволяющий решать задачу с малым параметром
Проведён анализ зависимости численных решений от параметров задачи.
Получены решения для предельно малого радиуса сечения нагревательного элемента (r0=0.0001)
Получена оценка вычислительной погрешности и погрешности метода

19/21

Слайд 20

Список публикаций
Блохин А.М., Круглова Е.А., Семисалов Б.В. Стационарные неизотермические течения несжимаемой

вязкоупругой полимерной жидкости между двумя соосными цилиндрами // Журн. выч. мат. и мат. физ. 2017. Т. 57. № 7, C. 99-112
Блохин А.М., Круглова Е.А., Семисалов Б.В. Численное моделирование неизотермического течения полимерной жидкости между двумя соосными цилиндрами с контролем погрешности // Тез. док. XVII Всерос. конф. мол. учёных по мат. мод. и информац. тех. Новосибирск, 30 октября–3 ноября 2016 г. С. 46.
Блохин А.М., Круглова Е.А., Семисалов Б.В. Расчёт неизотермического течения полимерной жидкости между двумя соосными цилиндрами // Тез. док. VIII Всероссийской конф. «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвящ. памяти акад. А.Ф. Сидорова, и Всероссийской молодёжной школы-конференции. Абрау-Дюрсо, 5–10 сентября 2016 г. С. 16–17.
Круглова Е.А. Численный анализ свойств неизотермического течения полимерной жидкости в цилиндрическом канале с тонким нагревательным элементом // Материалы 54-й Международной научной студенческой конференций (ISSC). Россия. Новосибирск, 16.04 – 20.04.2016. С. 50.
Круглова Е.А. Численное моделирование неизотермического течения полимерной жидкости между двумя соосными цилиндрами с контролем погрешности // Материалы 55-й Международной научной студенческой конференций (ISSC). Россия. Новосибирск, 16.04 – 20.04.2017. С. 153.

20/21

Слайд 21

Спасибо за внимание!
Круглова Е.А гр. 13111
Научный руководитель: Семисалов Б.В

Слайд 22

Выступления на спецсеминарах:
1) «Проекционные методы решения PDE»
(руководитель: Шапеев В.П)
2) «Вычислительная топология»

(руководитель: Базайкин Я.В)

Слайд 23

Модель Покровского - Виноградова
Здесь t – время; u,v,w – компоненты вектора

скорости в декартовой с.к. x,y,z;
P – давление; – компоненты тензора анизотропии ранга 2

Слайд 24

Уравнение движения модели Покровского-Виноградова
Силы давления
Силы вязкоупругого сопротивления
Сила, связанная с конвекцией в

поле тяжести

Слайд 25

Пример устанавливающегося течения для уравнений Навье-Стокса
y
x
-1
1
g
(1)
- уравнение неразрывности
В координатном виде.
(2)

Слайд 26

Пример устанавливающегося течения для уравнений Навье-Стокса
Ищем стационарное решение Пуазейля
(3)
(4)
(5)
Добавим условия прилипания

Слайд 27

-0.5
9
0.01
0.1
0.1
Положительные и отрицательные значения решения

Слайд 28

К. И. Бабенко Основы численного анализа, 2002
Метод, обладающий асимптотикой погрешности наилучшего

приближения для любой степени гладкости решений

Обоснование содержится в работах по теории приближений Фурье, Чебышёва, Лебега, Джексона, Бернштейна, Бабенко

Методы без насыщения

Основная идея – использовать информацию о гладкости решения

Слайд 29

- пространство алгебраических или тригонометрических многочленов степени N
N
Конечно-разностные методы,

методы конечных элементов

Методы без насыщения при ограниченной гладкости f

Методы без насыщения при бесконечной гладкости f

Методы без насыщения при целой f

Асимптотики приближений

Слайд 30

Уравнение модели
β – феноменологический параметр реологической модели, учитывающий ориентацию макромолекулярного клубка
Re

А. М. Блохин, Б. В. Семисалов, А. С. Шевченко Стационарные решения уравнений, описывающих неизотермические течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости// Матем. моделирование, 28:10 (2016), 3–22

Слайд 31

Сведение к задаче линейной алгебры
Обозначим
Тогда
Ответ получим из
Домножим на

Слайд 32

Анализ величин обусловленности и норм аппроксимирующих матриц
Условия Дирихле
Условия Неймана

Слайд 33

Основные оценки
Элементы массива решения имеют погрешности
- массив, элементы которого суть

возмущения элементов;
- максимальное из этих возмущений

2) При поиске значений производных погрешность возрастает:

Расчёт неизотермического течения вязкоупругой полимерной жидкости между двумя соосными цилиндрами с контролем погрешности

Содержание

По оценкам Wohlers Report 2015 к 2020 г. международный рынок аддитивных

Модели течения растворов и расплавов полимеров1) Феноменологические модели учитывают свойства течений

Постановка задачи2) Блохин А. М., Семисалов Б. В. Стационарное течение несжимаемой

Уравнение моделиβ – феноменологический параметр реологической модели, учитывающий ориентацию макромолекулярного клубкаRe

Численное решениеИспользуем итерационный метод установления. ВводимВременную переменную t для итерации Регуляризующий

Численное решение=Введём сетку по временной переменной t с шагом τ и

Алгоритм численного решения Для приближения решения используем интерполяционный полином в форме Лагранжа

Сведение к задаче линейной алгебрыДля аппроксимации первой и второй производной получаемСпектральное

Численные результатыКонечно-разностными методами решения найдены для r0 не меньше 0.15!А.М Блохин,

Результаты, полученные для малого r0β=0.1, D=1, EA=9, W=0.001Θ=0 – нагрев отсутствуетΘ=9

Контроль погрешностиПогрешность численного решения:- Вычислительная погрешность, связанная с округлением действительных чисел

//А.М. Мацокин, С.Б.Сорокин «Численные методы» гл.4, пар.3, стр.7814/21Верхняя оценка (5)

15/21Погрешность методаПусть – нечетное количество узлов. Тогда 0 – узел интерполяции

16/21Погрешность метода1) Bernstein S.N. "On the Best Approximation of Continuous Functions

Определение величины17/21,(8)(6)

Сплошная – Пунктир - 18/21Графики компонент погрешности и в логарифмической шкале

Основные результатыДля мезоскопической модели Покровского-Виноградова дана постановка задачи о стационарном неизотермическом

Список публикацийБлохин А.М., Круглова Е.А., Семисалов Б.В. Стационарные неизотермические течения несжимаемой

Спасибо за внимание!Круглова Е.А гр. 13111Научный руководитель: Семисалов Б.В

Выступления на спецсеминарах:1) «Проекционные методы решения PDE»(руководитель: Шапеев В.П)2) «Вычислительная топология»

Модель Покровского - ВиноградоваЗдесь t – время; u,v,w – компоненты вектора

Уравнение движения модели Покровского-ВиноградоваСилы давленияСилы вязкоупругого сопротивленияСила, связанная с конвекцией в

Пример устанавливающегося течения для уравнений Навье-Стоксаyx-11g(1)- уравнение неразрывностиВ координатном виде.(2)

Пример устанавливающегося течения для уравнений Навье-СтоксаИщем стационарное решение Пуазейля(3)(4)(5)Добавим условия прилипания

-0.590.010.10.1Положительные и отрицательные значения решения

К. И. Бабенко Основы численного анализа, 2002Метод, обладающий асимптотикой погрешности наилучшего

- пространство алгебраических или тригонометрических многочленов степени N NКонечно-разностные методы,

Уравнение моделиβ – феноменологический параметр реологической модели, учитывающий ориентацию макромолекулярного клубкаRe

Сведение к задаче линейной алгебрыОбозначимТогдаОтвет получим изДомножим на

Анализ величин обусловленности и норм аппроксимирующих матрицУсловия ДирихлеУсловия Неймана

Основные оценкиЭлементы массива решения имеют погрешности - массив, элементы которого суть

Похожие презентации

По оценкам
Wohlers Report 2015
к 2020 г. международный рынок аддитивных

Модели течения растворов и расплавов полимеров
1) Феноменологические модели
учитывают свойства течений

Постановка задачи
2) Блохин А. М., Семисалов Б. В. Стационарное течение несжимаемой

Уравнение модели
β – феноменологический параметр реологической модели, учитывающий ориентацию макромолекулярного клубка
Re

Численное решение
Используем итерационный метод установления.
Вводим
Временную переменную t для итерации
Регуляризующий

Численное решение
=
Введём сетку по временной переменной t с шагом τ и

Алгоритм численного решения
Для приближения решения используем интерполяционный полином в форме Лагранжа

Сведение к задаче линейной алгебры
Для аппроксимации первой и второй производной получаем
Спектральное

Численные результаты
Конечно-разностными методами решения найдены для r0 не меньше 0.15!
А.М Блохин,

Результаты, полученные для малого r0
β=0.1, D=1, EA=9, W=0.001
Θ=0 – нагрев отсутствует
Θ=9

Контроль погрешности
Погрешность численного решения:
- Вычислительная погрешность, связанная с округлением действительных чисел

//А.М. Мацокин, С.Б.Сорокин «Численные методы» гл.4, пар.3, стр.78
14/21
Верхняя оценка
(5)

15/21
Погрешность метода
Пусть – нечетное количество узлов. Тогда 0 – узел интерполяции

16/21
Погрешность метода
1) Bernstein S.N. "On the Best Approximation of Continuous Functions

Определение величины
17/21
,
(8)
(6)

Сплошная – Пунктир -
18/21
Графики компонент погрешности и в логарифмической шкале

Основные результаты
Для мезоскопической модели Покровского-Виноградова дана постановка задачи о стационарном неизотермическом

Список публикаций
Блохин А.М., Круглова Е.А., Семисалов Б.В. Стационарные неизотермические течения несжимаемой

Спасибо за внимание!
Круглова Е.А гр. 13111
Научный руководитель: Семисалов Б.В

Выступления на спецсеминарах:
1) «Проекционные методы решения PDE»
(руководитель: Шапеев В.П)
2) «Вычислительная топология»

Модель Покровского - Виноградова
Здесь t – время; u,v,w – компоненты вектора

Уравнение движения модели Покровского-Виноградова
Силы давления
Силы вязкоупругого сопротивления
Сила, связанная с конвекцией в

Пример устанавливающегося течения для уравнений Навье-Стокса
y
x
-1
1
g
(1)
- уравнение неразрывности
В координатном виде.
(2)

Пример устанавливающегося течения для уравнений Навье-Стокса
Ищем стационарное решение Пуазейля
(3)
(4)
(5)
Добавим условия прилипания

-0.5
9
0.01
0.1
0.1
Положительные и отрицательные значения решения

К. И. Бабенко Основы численного анализа, 2002
Метод, обладающий асимптотикой погрешности наилучшего

- пространство алгебраических или тригонометрических многочленов степени N
N
Конечно-разностные методы,

Уравнение модели
β – феноменологический параметр реологической модели, учитывающий ориентацию макромолекулярного клубка
Re

Сведение к задаче линейной алгебры
Обозначим
Тогда
Ответ получим из
Домножим на

Анализ величин обусловленности и норм аппроксимирующих матриц
Условия Дирихле
Условия Неймана

Основные оценки
Элементы массива решения имеют погрешности
- массив, элементы которого суть