Решение нелинейных уравнений

Июль 25, 2022

Главная
Математика
Решение нелинейных уравнений

Содержание

2. Алгебраические Тема 2. Решение нелинейных уравнений Алгебраическое уравнение порядка n имеет n корней, которые могут быть
3. Методы решения Методы решения: прямые; итерационные. Особенности итерационных методов: полученное решение всегда является приближенным; в итерационных
4. Решение нелинейных уравнений в Mathcad root( , )
5. Вычисление корней полиномов polyroots Корни комплексные
6. Итерационные методы решения Итерационные методы решения: метод половинного деления (бисекций); метод хорд; метод простой итерации; метод
7. Метод половинного деления В основе этого метода лежит свойство непрерывных функций, заключающееся в том, что если
8. Метод половинного деления Преимущества: сходится для любых непрерывных функций. Недостатки: невелика скорость сходимости; неприменим для отыскания
9. Метод половинного деления Пример:
10. Метод половинного деления
11. Метод половинного деления
12. Метод хорд В основе этого метода лежит свойство непрерывных функций, заключающееся в том, что если функция
13. Метод простой итерации Метод простой итерации уравнения f(x) = 0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным
14. Метод простой итерации Геометрическая интерпретация метода простой итерации
15. Метод простой итерации При использовании метода простой итерации основным моментом является выбор функции φ(x) в уравнении
16. Метод простой итерации Пример. Найти с точностью 10–3 корень уравнения x – cos x = 0
17. Метод простой итерации Решение уравнения x = 0,739
18. Метод Ньютона Геометрическая интерпретация метода
19. Метод Ньютона Пример. Найти с точностью 10–3 корень уравнения x – cos x = 0 Реализация
20. Контрольные вопросы 1. Классификация уравнений. 2. Прямые и итерационные методы решения нелинейных уравнений. 3. Область сходимости
21. Задание №2 1. Найти все корни нелинейных уравнений с использованием программы Mathcad. 2. Найти с точностью
23. Скачать презентацию

Слайд 2

Алгебраические
Тема 2. Решение нелинейных уравнений
Алгебраическое уравнение порядка n имеет n корней,

которые могут быть действительными или комплексными.

Нелинейные уравнения, содержащие тригонометрические или другие специальные функции, например lg x или ex, называются трансцендентными.

Трансцендентные уравнения могут иметь неопределенное число решений.

Классификация нелинейных уравнений:
алгебраические;
трансцендентные.

Слайд 3

Методы решения
Методы решения:
прямые;
итерационные.
Особенности итерационных методов:
полученное решение всегда является приближенным;
в итерационных

методах существует проблема сходимости.

Область, в которой заданные исходные значения сходятся к решению, называют областью сходимости.

Итерационные методы решения нелинейных уравнений отличаются между собой областью сходимости и скоростью сходимости решения.

Слайд 4

Решение нелинейных уравнений в Mathcad
root(<выражение>,<имя переменной>)

Слайд 5

Вычисление корней полиномов
polyroots
Корни комплексные

Слайд 6

Итерационные методы решения
Итерационные методы решения:
метод половинного деления (бисекций);
метод хорд;
метод простой

итерации;
метод Ньютона.

Слайд 7

Метод половинного деления
В основе этого метода лежит свойство непрерывных функций,

заключающееся в том, что если функция f(x) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, т.е. f(a)∙f(b)<0, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f(x) = 0.

Слайд 8

Метод половинного деления
Преимущества:
сходится для любых непрерывных функций.
Недостатки:
невелика скорость сходимости;
неприменим для

отыскания кратных корней четного порядка.

Слайд 9

Метод половинного деления
Пример:

Слайд 10

Метод половинного деления

Слайд 11

Метод половинного деления

Слайд 12

Метод хорд
В основе этого метода лежит свойство непрерывных функций, заключающееся в

том, что если функция f(x) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, т.е. f(a)∙f(b)<0, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f(x) = 0.

Слайд 13

Метод простой итерации
Метод простой итерации уравнения f(x) = 0 состоит
в

замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением x = ϕ(x);
построении последовательности xn+1 = φ(xn).
Установлено, что предел последовательности x0, x1 , ... xn при n→∞, если он существует, является корнем уравнения f(x) = 0.

Условие сходимости

Сходимость будет тем более быстрой, чем меньше величина |φ'(x)|.

Слайд 14

Метод простой итерации
Геометрическая интерпретация метода простой итерации

Слайд 15

Метод простой итерации
При использовании метода простой итерации основным моментом является выбор

функции φ(x) в уравнении x =φ(x), эквивалентном исходному.
Для метода простой итерации следует подбирать функцию φ(x) так, чтобы |φ'(xn)|<1. При этом следует помнить, что скорость сходимости метода тем выше, чем меньше значение |φ'(xn)|.
Пример: ex –10x = 0
Уравнения имеет 2 корня 0,112 и 3,577.
1-й корень – x = 0,1ex,
2-й корень – x = ln 10x.

Слайд 16

Метод простой итерации
Пример. Найти с точностью 10–3 корень уравнения x –

cos x = 0

x = cos x

Реализация в Mathcad

Слайд 17

Метод простой итерации
Решение уравнения x = 0,739
<10–3

Слайд 18

Метод Ньютона
Геометрическая интерпретация метода

Слайд 19

Метод Ньютона
Пример. Найти с точностью 10–3 корень уравнения x – cos

x = 0

Реализация в Mathcad

Слайд 20

Контрольные вопросы
1. Классификация уравнений.
2. Прямые и итерационные методы решения нелинейных уравнений.
3.

Область сходимости и скорость сходимости решения нелинейного уравнения.
4. Алгоритм и геометрическая интерпретация метода половинного деления.
5. Алгоритм и геометрическая интерпретация метода хорд.
6. Алгоритм, основное соотношение, условие сходимости и геометрическая интерпретация метода простой итерации.
7. Алгоритм, основное соотношение и геометрическая интерпретация метода Ньютона.
8. Программа решения нелинейного уравнения с использованием метода половинного деления.
9. Программа решения нелинейного уравнения с использованием метода простой итерации.
10. Программа решения нелинейного уравнения с использованием метода Ньютона.
11. Решение нелинейного уравнения в MathCAD.

Слайд 21

Задание №2
1. Найти все корни нелинейных уравнений с использованием программы Mathcad.
2. Найти с

точностью 10–3 один из корней нелинейного уравнения с использованием метода половинного деления.
3. Найти с точностью 10–3 один из корней нелинейного уравнения с использованием метода хорд.
4. Найти с точностью 10–3 один из корней нелинейного уравнения с использованием метода простой итерации.
5. Найти с точностью 10–6 все корни нелинейного уравнения с использованием метода Ньютона.
6. Написать программу решения нелинейного уравнения методом половинного деления.
7. Написать программу решения нелинейного уравнения методом хорд.
8. Написать программу решения нелинейного уравнения методом простой итерации.
9. Написать программу решения нелинейного уравнения методом Ньютона.

Решение нелинейных уравнений

Содержание

АлгебраическиеТема 2. Решение нелинейных уравненийАлгебраическое уравнение порядка n имеет n корней,

Методы решения Методы решения:прямые;итерационные.Особенности итерационных методов:полученное решение всегда является приближенным;в итерационных

Решение нелинейных уравнений в Mathcadroot(<выражение>,<имя переменной>)

Вычисление корней полиномовpolyrootsКорни комплексные

Итерационные методы решения Итерационные методы решения:метод половинного деления (бисекций);метод хорд;метод простой

Метод половинного деления В основе этого метода лежит свойство непрерывных функций,

Метод половинного деления Преимущества:сходится для любых непрерывных функций.Недостатки:невелика скорость сходимости;неприменим для

Метод половинного деления Пример:

Метод половинного деления

Метод половинного деления

Метод хордВ основе этого метода лежит свойство непрерывных функций, заключающееся в

Метод простой итерацииМетод простой итерации уравнения f(x) = 0 состоит в

Метод простой итерацииГеометрическая интерпретация метода простой итерации

Метод простой итерацииПри использовании метода простой итерации основным моментом является выбор

Метод простой итерацииПример. Найти с точностью 10–3 корень уравнения x –

Метод простой итерацииРешение уравнения x = 0,739 <10–3

Метод НьютонаГеометрическая интерпретация метода

Метод НьютонаПример. Найти с точностью 10–3 корень уравнения x – cos

Контрольные вопросы1. Классификация уравнений.2. Прямые и итерационные методы решения нелинейных уравнений.3.

Задание №21. Найти все корни нелинейных уравнений с использованием программы Mathcad.2. Найти с

Похожие презентации

Алгебраические
Тема 2. Решение нелинейных уравнений
Алгебраическое уравнение порядка n имеет n корней,

Методы решения
Методы решения:
прямые;
итерационные.
Особенности итерационных методов:
полученное решение всегда является приближенным;
в итерационных

Решение нелинейных уравнений в Mathcad
root(<выражение>,<имя переменной>)

Вычисление корней полиномов
polyroots
Корни комплексные

Итерационные методы решения
Итерационные методы решения:
метод половинного деления (бисекций);
метод хорд;
метод простой

Метод половинного деления
В основе этого метода лежит свойство непрерывных функций,

Метод половинного деления
Преимущества:
сходится для любых непрерывных функций.
Недостатки:
невелика скорость сходимости;
неприменим для

Метод половинного деления
Пример:

Метод хорд
В основе этого метода лежит свойство непрерывных функций, заключающееся в

Метод простой итерации
Метод простой итерации уравнения f(x) = 0 состоит
в

Метод простой итерации
Геометрическая интерпретация метода простой итерации

Метод простой итерации
При использовании метода простой итерации основным моментом является выбор

Метод простой итерации
Пример. Найти с точностью 10–3 корень уравнения x –

Метод простой итерации
Решение уравнения x = 0,739
<10–3

Метод Ньютона
Геометрическая интерпретация метода

Метод Ньютона
Пример. Найти с точностью 10–3 корень уравнения x – cos

Контрольные вопросы
1. Классификация уравнений.
2. Прямые и итерационные методы решения нелинейных уравнений.
3.

Задание №2
1. Найти все корни нелинейных уравнений с использованием программы Mathcad.
2. Найти с