Симметрия многогранников

Июль 22, 2022

Главная
Математика
Симметрия многогранников

Содержание

2. Оглавление: 1) Общие сведения 2) Симметрия куба 3) Симметрия прямоугольного параллелепипеда 4) Симметрия параллелепипеда 5) Симметрия
3. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают. Под симметрией
4. ОБЩИЕ CВЕДЕНИЯ Иначе говоря, под преобразованием симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение,
5. ОБЩИЕ CВЕДЕНИЯ ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА, или правильные многогранники, имеют в качестве граней правильные многоугольники, причем число граней,
6. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Тетраэдр {3,3} Куб {4,3} Октаэдр {3,4} Икосаэдр {3,5} Додекаэдр {5,3}
7. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ С самым распространенным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой правильной n-угольной призмы. Пусть
8. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Отражение относительно плоскости p(движение, переводящее любую точку A в точку B, такую, что p
9. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
10. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Любую симметрию многогранника можно представить в виде произведения отражений. Под произведением нескольких движений многогранника
11. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Симметрия, являющаяся произведением четного числа отражений, называется прямой, в противном случае – обратной. Таким
12. РАЗВЕРТКИ ПЯТИ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
13. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Рассмотрим подробнее симметрии тетраэдра, т.е. правильного многогранника. Любая прямая, проходящая через любую вершину и
14. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Поворот на 180 градусов (полуоборот) вокруг такой прямой также является симметрией. Так как у
15. СИММЕТРИЯ КУБА 1. Центр симметрии — центр куба (точка пересечения диагоналей куба).
16. СИММЕТРИЯ КУБА 2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер; шесть плоскостей симметрии,
17. СИММЕТРИЯ КУБА 3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через центры противолежащих граней; четыре оси симметрии,
18. СИММЕТРИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА 1. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
19. СИММЕТРИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА 2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер.
20. СИММЕТРИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА 3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих граней.
21. СИММЕТРИЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА 1. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей параллелепипеда.
22. СИММЕТРИЯ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ 2. Плоскость симметрии, проходящая через середины боковых ребер.
23. СИММЕТРИЯ ПРАВИЛЬНОЙ ПРИЗМЫ 1. Центр симметрии при четном числе сторон основания — точка пересечения диагоналей правильной
24. СИММЕТРИЯ ПРАВИЛЬНОЙ ПРИЗМЫ 2. Плоскости симметрии: плоскость, проходящая через середины боковых ребер; при четном числе сторон
25. СИММЕТРИЯ ПРАВИЛЬНОЙ ПРИЗМЫ 3. Оси симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через
26. СИММЕТРИЯ ПРАВИЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ 1. Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие
27. СИММЕТРИЯ ПРАВИЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ 2. Ось симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через
29. Скачать презентацию

Слайд 2

Оглавление:
1) Общие сведения
2) Симметрия куба
3) Симметрия прямоугольного параллелепипеда
4) Симметрия параллелепипеда
5) Симметрия

прямой призмы
6) Симметрия правильной призмы
7) Симметрия правильной пирамиды

Слайд 3

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий,

которыми они обладают. Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника.
Додекаэдр

Слайд 4

ОБЩИЕ CВЕДЕНИЯ
Иначе говоря, под преобразованием симметрии вершина, ребро или грань либо

сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани. Существует одна симметрия, которая свойственна всем многогранникам. Речь идет о тождественном преобразовании, оставляющем любую точку в исходном положении.

Додекаэдр (изменил своё положение)

Слайд 5

ОБЩИЕ CВЕДЕНИЯ
ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА, или правильные многогранники, имеют в качестве граней правильные

многоугольники, причем число граней, примыкающих к каждой вершине, одинаково. Таковы, как показано на рисунке, тетраэдр, куб (или гексаэдр), октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Первое число в скобках указывает, сколько сторон у каждой грани, второе - число граней, примыкающих к каждой вершине.

Слайд 6

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Тетраэдр {3,3}
Куб {4,3}
Октаэдр {3,4}
Икосаэдр {3,5}
Додекаэдр {5,3}

Слайд 7

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
С самым распространенным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой

правильной n-угольной призмы. Пусть a – прямая, соединяющая центры оснований. Поворот вокруг a на любое целое кратное угла 360/n градусов является симметрией. Пусть, далее, p – плоскость, проходящая посредине между основаниями параллельно им.

Слайд 8

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Отражение относительно плоскости p(движение, переводящее любую точку A в точку B, такую, что p

пересекает отрезок AB под прямым углом и делит его пополам) – еще одна симметрия.

Слайд 9

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Слайд 10

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Любую симметрию многогранника можно представить в виде произведения отражений. Под

произведением нескольких движений многогранника здесь понимается выполнение отдельных движений в определенном заранее установленном порядке. Например, упоминавшийся выше поворот на угол 360/n градусов вокруг прямой a есть произведение отражений относительно любых двух плоскостей, содержащих a и образующих относительно друг друга угол в 180/n градусов.

Слайд 11

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Симметрия, являющаяся произведением четного числа отражений, называется прямой, в противном случае

– обратной. Таким образом, любой поворот вокруг прямой – прямая симметрия. Любое отражение есть обратная симметрия.

Слайд 12

РАЗВЕРТКИ ПЯТИ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Слайд 13

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Рассмотрим подробнее симметрии тетраэдра, т.е. правильного многогранника. Любая прямая, проходящая

через любую вершину и центр тетраэдра, проходит через центр противоположной грани. Поворот на 120 или 240 градусов вокруг этой прямой принадлежит к числу симметрий тетраэдра. Так как у тетраэдра 4 вершины (и 4 грани), то мы получим всего 8 прямых симметрий. Любая прямая, проходящая через центр и середину ребра тетраэдра проходит через середину противоположного ребра.

Слайд 14

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Поворот на 180 градусов (полуоборот) вокруг такой прямой также является

симметрией. Так как у тетраэдра 3 пары ребер, мы получаем еще 3 прямые симметрии. Следовательно, общее число прямых симметрий, включая тождественное преобразование, доходит до 12. Можно показать, что других прямых симметрий не существует и что имеется 12 обратных симметрий. Таким образом, тетраэдр допускает всего 24 симметрии.

Слайд 15

СИММЕТРИЯ КУБА
1. Центр симметрии — центр куба (точка пересечения диагоналей куба).

Слайд 16

СИММЕТРИЯ КУБА
2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер;

шесть плоскостей симметрии, проходящие через противолежащие ребра.

Слайд 17

СИММЕТРИЯ КУБА
3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через центры противолежащих граней;

четыре оси симметрии, проходящие через противолежащие вершины; шесть осей симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер.

Слайд 18

СИММЕТРИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
1. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

Слайд 19

СИММЕТРИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных

ребер.

Слайд 20

СИММЕТРИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через точки пересечения

диагоналей противолежащих граней.

Слайд 21

СИММЕТРИЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
1. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей параллелепипеда.

Слайд 22

СИММЕТРИЯ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ
2. Плоскость симметрии, проходящая через середины боковых ребер.

Слайд 23

СИММЕТРИЯ ПРАВИЛЬНОЙ ПРИЗМЫ
1. Центр симметрии при четном числе сторон основания — точка пересечения

диагоналей правильной призмы.

Слайд 24

СИММЕТРИЯ ПРАВИЛЬНОЙ ПРИЗМЫ
2. Плоскости симметрии: плоскость, проходящая через середины боковых ребер; при

четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие ребра.

Слайд 25

СИММЕТРИЯ ПРАВИЛЬНОЙ ПРИЗМЫ
3. Оси симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии,

проходящая через центры оснований, и оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих боковых граней.

Слайд 26

СИММЕТРИЯ ПРАВИЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ
1. Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания — плоскости,

проходящие через противолежащие боковые ребра; и плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих боковых граней.

Слайд 27

СИММЕТРИЯ ПРАВИЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ
2. Ось симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии,

проходящая через вершину правильной пирамиды и центр основания.

Симметрия многогранников

Содержание

Оглавление:1) Общие сведения2) Симметрия куба3) Симметрия прямоугольного параллелепипеда4) Симметрия параллелепипеда5) Симметрия

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий,

ОБЩИЕ CВЕДЕНИЯИначе говоря, под преобразованием симметрии вершина, ребро или грань либо

ОБЩИЕ CВЕДЕНИЯПЛАТОНОВЫ ТЕЛА, или правильные многогранники, имеют в качестве граней правильные

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯТетраэдр {3,3}Куб {4,3}Октаэдр {3,4}Икосаэдр {3,5}Додекаэдр {5,3}

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ С самым распространенным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯОтражение относительно плоскости p(движение, переводящее любую точку A в точку B, такую, что p

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯЛюбую симметрию многогранника можно представить в виде произведения отражений. Под

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Симметрия, являющаяся произведением четного числа отражений, называется прямой, в противном случае

РАЗВЕРТКИ ПЯТИ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ.ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Рассмотрим подробнее симметрии тетраэдра, т.е. правильного многогранника. Любая прямая, проходящая

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Поворот на 180 градусов (полуоборот) вокруг такой прямой также является

СИММЕТРИЯ КУБА1. Центр симметрии — центр куба (точка пересечения диагоналей куба).

СИММЕТРИЯ КУБА2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер;

СИММЕТРИЯ КУБА 3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через центры противолежащих граней;

СИММЕТРИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА 1. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

СИММЕТРИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных

СИММЕТРИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА 3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через точки пересечения

СИММЕТРИЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА1. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей параллелепипеда.

СИММЕТРИЯ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ2. Плоскость симметрии, проходящая через середины боковых ребер.

СИММЕТРИЯ ПРАВИЛЬНОЙ ПРИЗМЫ1. Центр симметрии при четном числе сторон основания — точка пересечения

СИММЕТРИЯ ПРАВИЛЬНОЙ ПРИЗМЫ 2. Плоскости симметрии: плоскость, проходящая через середины боковых ребер; при

СИММЕТРИЯ ПРАВИЛЬНОЙ ПРИЗМЫ 3. Оси симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии,

СИММЕТРИЯ ПРАВИЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ1. Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания — плоскости,

СИММЕТРИЯ ПРАВИЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ 2. Ось симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии,

Похожие презентации