Системы линейных уравнений

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Системы линейных уравнений

Содержание

2. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n)
3. Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы. Числа, стоящие в
4. Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после
5. Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы
6. Пример. Исследовать систему линейных уравнений Решение. Поскольку все элементы матрицы системы входят в расширенную матрицу, то
7. Таким образом, матрица содержит две ненулевые строки, значит ее ранг равен двум. В матрице три ненулевых
8. ПРАВИЛО КРАМЕРА Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными: Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы,
9. Тогда можно доказать следующий результат. Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая
10. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КРАМЕРА
11. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЛАВНОГО И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
12. ПРОДОЛЖЕНИЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
13. ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ ОТВЕТ
14. МЕТОД ГАУССА . выпишем расширенную матрицу системы и затем приведем её к треугольному или диагональному виду
15. Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса. Вернувшись к системе уравнений, будем иметь
16. Пусть detA≠0, тогда существует единственная обратная матрица A-1. Решение системы уравнений, записанной в матричной форме AX=B
18. Скачать презентацию

Слайд 2

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида
где

aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Слайд 3

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы
, которую назовём

матрицей системы.
Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.

Слайд 4

Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение

системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.
Система может иметь единственное решение.
Система может иметь бесконечное множество решений. Например,

. Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например,

, если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице.

Слайд 5

Теорема Кронекера-Капелли.
Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо

и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.
Если при этом ранг равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если он меньше числа неизвестных, решений -множество.

Слайд 6

Пример. Исследовать систему линейных уравнений
Решение. Поскольку все элементы матрицы системы входят

в расширенную матрицу, то ранги обеих матриц можно вычислять одновременно.

Слайд 7

Таким образом, матрица содержит две ненулевые строки, значит ее ранг равен

двум. В матрице три ненулевых строки, ее ранг равен трем. А т.к. , система несовместна.

Слайд 8

ПРАВИЛО КРАМЕРА
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель третьего

порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Слайд 9

Тогда можно доказать следующий результат.
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ

≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Слайд 10

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КРАМЕРА

Слайд 11

ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЛАВНОГО И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Слайд 12

ПРОДОЛЖЕНИЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Слайд 13

ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ ОТВЕТ

Слайд 14

МЕТОД ГАУССА
.
выпишем расширенную матрицу системы
и затем приведем её к треугольному

или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:
перестановка строк или столбцов;
умножение строки на число, отличное от нуля;
прибавление к одной строке другие строки.

Слайд 15

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.
Вернувшись к системе уравнений, будем иметь

Слайд 16

Пусть detA≠0, тогда существует единственная обратная матрица A-1. Решение системы уравнений,

записанной в матричной форме AX=B можно найти по следующей формуле X=A-1·B

Метод обратной матрицы

Пример.

имеем:

Системы линейных уравнений

Содержание

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида где

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём

Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо

Пример. Исследовать систему линейных уравненийРешение. Поскольку все элементы матрицы системы входят