Теория вероятностей (ТВ)

В современном мире автоматизации производства теория вероятности(Т.В) необходима специалистам для решения

Под случайным событием понимается всякое явление, о котором имеет смысл говорить,

Основные понятия и термины ТВ

Наблюдения, опыты и измерения
Испытание - осуществление

Основные понятия и термины ТВ

Результат испытания называется событием
Событие - любой факт, который

Основные понятия и термины ТВ

Каждое событие обладает объективной возможностью наступления

Примеры:
1) При подбрасывании монеты появление цифры исключает одновременное появление герба:

2) Есть

Основные понятия и термины ТВ

В любом опыте имеется определенное множество

Основные понятия и термины ТВ

Например,
- пространство элем. исходов опыта, связанного

Основные понятия и термины ТВ

Событие
- подпространство пространства
Событие
- подпространство пространства

Виды событий в ТВ

В зависимости от объективной возможности наступления:
1. Достоверное
2.

Виды случайных событий
1. Простое - не может быть разложено на составляющие.
Например:
Событие

2. Сложное (составное) событие - описывается несколькими простыми событиями.
Например: событие

Виды сложных событий

а) Логическая сумма (объединение) простых событий – сложное событие,

Виды сложных событий

Общепринятая запись суммы (объединения) двух событий:
или
что означает:

Сумма (объединение) трех событий:
или ,
что означает:

Виды сложных событий

б) Логическое произведение (пересечение) простых событий - сложное событие, которое заключается

Виды сложных событий

Например, событие
- при бросании двух игральных костей.
Или событие

Общепринятая запись произведения (пересечения):
или ,
что означает:
;
- символ логического

3. Равновозможные события – имеют одинаковую объективную возможность наступления при данном

События

Виды случайных событий

События
и ,
где - случ. ошибка измерений, - равновозможны при

4. Единственно возможные события – такие, когда в результате испытания может

Виды случайных событий

5. Независимые и зависимые события – такие, у которых

Виды случайных событий

Система единственно возможных несовместных событий называется полной группой событий.

Виды случайных событий

6. Противоположные события – два простых или сложных события,

Виды случайных событий

Так, противоположны события:
и ;
и ;
и

Конечное число несовместных равновозможных событий, образующих полную группу, называются случаями, шансами,

Про опыт говорят, что он сводится или не сводится к схеме

Например, в опыте
выпадению герба благоприятствует один исход (Г);
В опыте
выпадению хотя

Численная мера объективной возможности появления события называется вероятностью события.
Вероятность – важнейшая

Классическое определение вероятности

Оно не связано с проведением опытов, т.е. вероятность события

Классическое определение вероятности

Тогда вероятность события может быть получена по формуле
где N

Классическое определение вероятности

Согласно формулы ( I ),
При одном бросании монеты:
Р(Г)

Классическое определение вероятности

В формуле (I)
или ,
т.е.
Т.о. предельное числовое

Классическое определение вероятности

При имеем
- вероятность достоверного события равна единице.
При имеем
-

Классическое определение вероятности

Обозначим и ,
Тогда , т.к.
,
т.е. сумма

Классическое определение вероятности

Недостаток: опыты редко сводятся к схеме случаев и чаще

Статистическое определение вероятности

Связано с проведением опытов и с понятием относительной частоты

Статистическое определение вероятности

Свойство устойчивости относительной частоты в опытах отражено в теореме

На основании теоремы Бернулли : вероятность – это предел, к которому

Статистическое определение

Недостаток - необходимость выполнения бесконечного числа опытов или достаточно большого их

Формулы ( I ) и ( II ) выражают прямые способы

Косвенные способы вычисления вероятностей

Позволяют по известным вероятностям одних событий вычислять вероятности

К ним относятся:
- теоремы (аксиомы) ТВ;
- формула полной вероятности;
- формула Байеса;
-

Задачи по теме:
«Вероятность. Понятие события и вероятности события»

1. В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны

2. Брошена игральная кость. Какова вероятность событий: А- выпало 1 очко;

3. Брошены 2 игральные кости. Какова вероятность событий: А- выпадения в

Для события А получаем:

m=10:

Для события В получаем:

m=11:

Ответ:

Основные теоремы ТВ

Используются для вычисления вероятностей сложных событий.
Их две –

Теорема сложения вероятностей
Суммой событий называется сложное событие, состоящее в наступлении хотя

Теорема: Вероятность суммы двух или нескольких совместных событий равна сумме вероятностей

Теорема сложения вероятностей

Доказательство:
n – общее число всех возможных исходов опыта;

Очевидно, что событию благоприятствуют все исходов.
Запишем вероятности этих событий:
Или
Ч.т.д.

Теорема сложения

Теорема сложения вероятностей

Для несовместных событий l = 0.
В этом случае

т.е. вероятность

Задача 1. В лотерее 1000 билетов. На один билет падает выигрыш

Решение: Обозначим события:
Найдем вероятности этих простых событий по формуле :

Теорема сложения

Теорема сложения вероятностей

Введем обозначения для интересующих нас событий:
- сумма 3-х несовместных событий;
- сумма

Вычислим вероятности этих событий по тереме сложения вероятностей несовместных событий:

Теорема сложения

Условие независимости событий

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из

Вероятность события, вычисленная в предположении, что одно или несколько событий к

События А и В независимы, если их условные вероятности равны “безусловным”,т.е.

Условие независимости событий

Аналитическая запись условия независимости событий:
или

Условная вероятность события может быть получена по формуле
Ясно, что если

Задача . Из колоды карт в 36 листов берут наугад одну

Решение. Вычислим “безусловные” вероятности событий:
Вычислим необходимые условные вероятности:

Условие независимости событий

Выводы:
1. , следовательно, события А и В независимы.
2. , следовательно,

Задача . Зависимы или нет противоположные события?
Решение. Запишем условие независимости для

Теорема умножения вероятностей

Произведением двух или нескольких событий называется сложное событие, состоящее

Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению безусловной вероятности одного

Теорема умножения вероятностей

Доказательство:
n – общее число всех возможных исходов опыта;

Теорема умножения вероятностей

Запишем вероятности этих событий:
Условная вероятность события В:
Подставив все эти

Аналогично для трех и более событий:
а)
б)
Для независимых событий А и В:

Теорема умножения вероятностей

Задача. На карточках написаны буквы Т, Т, С и

Теорема умножения вероятностей

Решение.
Событие по определению есть произведение событий.
Вскрытые карточки обратно

Теорема умножения вероятностей

(Т, Т, С , О)
Поэтому для решения задачи применим

Является следствием обеих теорем – сложения и умножения вероятностей.

Формула полной вероятности

Формула полной вероятности

Пусть требуется определить вероятность события А, которое может произойти

Формула полной вероятности

А – событие
H1, H2,…, Hn
гипотезы

Формула полной вероятности

Тогда вероятность события А вычисляется как
т.е.как сумма произведений вероятности

Формула полной вероятности

Доказательство.
Так как гипотезы образуют полную группу, то событие

Формула полной вероятности

Так как гипотезы несовместны, то и комбинации - тоже

Формула полной вероятности

Применяя к событиям теорему умножения зависимых событий, получим
,
что и

Формула полной вероятности

Задача. Имеются три одинаковые с виду урны. В первой

Формула полной вероятности

Решение.
Событие
Обозначим события-гипотезы:
1-я урна 2-я урна 3-я урна

Формула полной вероятности

Найдем вероятность вынуть белый шар из 1-й урны, т.е.

Формула полной вероятности

По формуле полной вероятности найдем

Формула Байеса (теорема гипотез)

Является следствием теоремы умножения вероятностей и формулы полной

Формула Байеса (теорема гипотез)

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез:
H1, H2,…,

Формула Байеса (теорема гипотез)

Вопрос: как следует изменить вероятности гипотез в связи

Формула Байеса (теорема гипотез)

По теореме умножения вероятностей имеем:
или
,
откуда

Формула Байеса (теорема гипотез)

Выражая P(A) с помощью формулы полной вероятности, имеем
Формула

Формула Байеса (теорема гипотез)

Задача. Два стрелка стреляют в одну мишень, делая

Формула Байеса (теорема гипотез)

Решение. p1 = 0.8, p2 = 0.4
До опыта

Формула Байеса (теорема гипотез)

Условные вероятности наблюденного события
А = {пробоина}
при этих гипотезах

Формула Байеса (теорема гипотез)

После опыта гипотезы H 1 и Н 2

Формула Байеса (теорема гипотез)

Следовательно, вероятность того, что пробоина принадлежит первому стрелку,