Содержание
- 2. Испытания Бернулли. Формула Бернулли Ответ на 1-й вопрос дает формула Бернулли: - вероятность наступления события k
- 3. Число сочетаний
- 4. Испытания Бернулли. Формула Бернулли При ответе на 2-й вопрос по существу требуется определить наивероятнейшее число k0
- 5. Испытания Бернулли. Формула Бернулли Можно показать, что эти условия приводят к неравенству Замечания: 1. k0 –
- 6. Испытания Бернулли. Формула Бернулли Задача. Монета брошена 5 раз. Какова вероятность того, что герб появится ровно
- 7. Испытания Бернулли. Формула Бернулли 2. Найдем k0 из неравенства с учетом n = 5 и p
- 8. Испытания Бернулли. Формула Бернулли Т.о. имеем два наивероятнейших числа: Поэтому должно быть Убедимся в этом:
- 9. Использование противоположного события При независимых многократных испытаниях для вычисления вероятности суммы событий вместо теоремы сложения вероятностей
- 10. Использование противоположного события Пусть – наступление события A в i-м испытании. По определению, сумма событий –
- 11. Использование противоположного события Противоположные события составляют полную группу, поэтому сумма их вероятностей равна единице, т. е.
- 12. Использование противоположного события По теореме умножения вероятностей независимых событий где . Итак,
- 13. Использование противоположного события Задача. Три стрелка стреляют в цель с вероятностью успеха Найти вероятность поражения мишени.
- 14. Использование противоположного события Событие Вычислим вероятности противоположных событий:
- 15. Использование противоположного события Тогда вероятность события B:
- 16. Распределения дискретных случайных величин Все процессы, происходящие в природе, делятся на непрерывные и дискретные. Например, такие
- 17. Рассмотрим вероятностное пространство (Ω, σ, Р), то есть пространство элементарных исходов Ω, σ -алгебру событий (определенную
- 18. Случайной величиной ξ (кси) называется произвольная функция, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу (событию) ω число
- 19. Распределение дискретной случайной величины ξ
- 20. Пример Два игрока играют в “орлянку” на следующих условиях: если при подбрасывании монеты выпадает “орел”, то
- 21. Решение Пространство элементарных исходов (событий) Ω состоит из двух исходов: ω1 – выпадение “орла” и ω2
- 22. Значения случайной величины
- 23. Функция распределения случайной величины Функцией распределения (вероятностей) случайной величины ξ называется функция F(x), значение которой в
- 24. Свойства функции распределения 1. Функция F(x) является ограниченной, то есть ее значения лежат в интервале от
- 25. 3. Вероятность попадания случайной величины ξ на отрезок (x1, x2) определяется формулой: P{x1 ≤ ξ ≤
- 26. Ряд распределения дискретной случайной величины числа выпавших очков при бросании кости
- 27. Функция распределения вероятностей выпадения очков при бросании кости
- 28. Кумулятивная вероятность распределения числа очков при бросании кости
- 29. Пример В неком обществе организована лотерея. Разыгрываются две вещи стоимостью по $10 и одна стоимостью $30.
- 30. Решение Искомая случайная величина X может принимать три значения: -1, (если субъект не выиграет, а проиграет
- 31. Закон распределения Х имеет вид
- 32. Виды распределений
- 33. Биноминальное распределение является распределением числа успехов μ в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p и
- 34. Схема Бернулли Рассмотрим последовательность независимых одинаковых испытаний: появление или не появление некоторого наблюдаемого события в каждом
- 35. Результат каждого опыта можно записать в виде последовательности УНН...У, “У” – успех, “Н” – неудача. Пространство
- 36. В силу независимости испытаний сопоставим каждому элементарному исходу ω = УННУ...У вероятность Р(ω) = Р(УННУ...У)= pqqp...p,
- 37. Вероятность Рn(m) получить в n испытаниях ровно m успехов. Данное выражение носит также название биноминального закона,
- 38. Биноминальное распределение для n=5
- 39. Пример Монета брошена 2 раза. Определить закон распределения случайной величины Х – числа выпадений герба.
- 40. При бросании монеты герб может появиться или 2 раза или 1 раз или совсем не появиться.
- 42. Пример На зачете студент получил n = 4 задачи. Вероятность решить правильно каждую задачу p =
- 43. В данном случае мы имеем дело с биноминальным законом:
- 44. Пуассоновское распределение Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при
- 45. Параметр пуассоновского распределения λ>0 определяет интенсивность поступления событий и определяется формулой: λ =n*p, где n –
- 46. Распределение Пуассона носит также название закона редких событий, поскольку оно всегда появляется там, где производится большое
- 48. Формула Пуассона Формула Пуассона применяется тогда, когда наряду с большим значением числа испытаний n “мала” вероятность
- 49. Пример Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится равно
- 50. По условию n =5000, р=0,0002, k=3. Найдем λ= np =5000*0.0002=1 По формуле Пуассона искомая вероятность равна
- 51. Пример Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно – 2. Найти вероятности того,
- 52. по условию λ=2, t=5, m=4. По формуле Пуассона: А) Вероятность, что за 5 минут поступят 2
- 53. Б) События «не поступило не одного вызова» и «поступил 1 вызов» – несовместны, поэтому по теореме
- 54. Геометрическое распределение Пусть ξ – число испытаний, которое необходимо провести, прежде чем появится первый успех. Тогда
- 56. Пример Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р=0,6. Найти
- 57. По условию, р=0,6, q=0,4, k=3. Искомая вероятность определяется по формуле:
- 58. Продолжение примера Производится стрельба по мишени до первого попадания (число патронов не ограничено). Требуется составить ряд
- 59. Случайная величина X – число сделанных выстрелов – имеет геометрическое распределение с параметром p=0,6. Ряд распределения
- 60. Гипергеометрическое распределение Дискретная случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения 0,1, 2, ...,
- 61. где m=1, 2, ..., min {n, M}, m≤N, n≤N; n, N, M – натуральные числа. N
- 62. Гипергеометрическое распределение широко используется в практике статистического приёмочного контроля качества промышленной продукции, в задачах, связанных с
- 63. Пример В национальной лотерее "6 из 45" денежные призы получают участники, угадавшие от трёх до шести
- 64. Случайная величина X – число угаданных чисел среди случайно отобранных шести – имеет гипергеометрическое распределение с
- 66. Скачать презентацию