Введение. Основные понятия теории вероятностей. Элементы комбинаторики

Август 3, 2022

Главная
Математика
Введение. Основные понятия теории вероятностей. Элементы комбинаторики

Содержание

2. Основные формулы комбинаторики комбинаторика – наука, изучающая комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов
3. Предмет теории вероятностей Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого
4. Случайное событие: факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. События, которые могут произойти
5. Перестановки Перестановки – это комбинации, составленные из всех n элементов данного множества и отличающиеся только порядком
6. Размещения Размещения – комбинации из m элементов множества, содержащего n различных элементов, отличающиеся либо составом элементов,
7. Сочетания Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы,
8. Операции над событиями: Сумма событий Суммой (объединением) событий A и B называется событие, состоящее в том,
9. Произведение событий Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и
10. Разность (дополнение) событий Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А
11. Виды событий: События А и В называются совместными, если они могут произойти оба в результате одного
12. Схема случаев Если все события, которые могут произойти в результате данного опыта, а) попарно несовместны; б)
13. Классическое определение вероятности Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятных этому событию, к числу
14. Другими пунктами аналогично:
15. Аксиомы теории вероятностей Аксиома 1. Каждому случайному событию A соответствует определенное число Р(А), называемое его вероятностью
16. Свойства вероятности Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит
17. Относительная частота. Статистическое определение вероятности. относительная частоты W(A) события A - отношение числа опытов, в которых
18. Теорема сложения вероятностей. Вероятность р(А + В) суммы событий А и В равна Р (А +
19. Следствие 1. Теорему сложения вероятностей можно распространить на случай суммы любого числа событий. Например, для суммы
20. Следствие 2. Если события А и В несовместны, то mАВ = 0, и, следовательно, вероятность суммы
21. Определение Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу. Если одно из них назвать А,
22. Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность
23. Независимые события Определение: Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет
24. Вероятность появления хотя бы одного события Теорема Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий
26. Скачать презентацию

Слайд 2

Основные формулы комбинаторики
комбинаторика – наука, изучающая комбинации, которые можно составить по

определенным правилам из элементов некоторого конечного множества

Слайд 3

Предмет теории вероятностей
Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах.
Случайным

называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать результат отличает случайное явление от других.
Случайность и хаос — не одно и то же.

Слайд 4

Случайное событие:
факт, который в результате опыта может произойти или не

произойти.
События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:
а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта;
б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может;
в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

Слайд 5

Перестановки
Перестановки – это комбинации, составленные из всех n элементов данного множества

и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок
Рn = n!
Пример. Сколько различных списков (отличающихся порядком фамилий) можно составить из 7 различных фамилий?
Решение. Р7 = 7! = 2·3·4·5·6·7 = 5040.

Слайд 6

Размещения
Размещения – комбинации из m элементов множества, содержащего n различных элементов,

отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений
Количество размещений из n по m, обозначаемое Anm , равно убывающему факториалу
Anm=n! / (n-m)!
Пример. Сколько возможно различных вариантов пьедестала почета (первое, второе, третье места), если в соревнованиях принимают участие 10 человек?
Решение.
A310 = 10*9*8 = 10! / 7! = 720

Слайд 7

Сочетания
Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных

элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов). Число сочетаний
Пример. В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов?
Решение. В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов, следовательно, ищем число сочетаний из 10 по 3:

Слайд 8

Операции над событиями: Сумма событий
Суммой (объединением) событий A и B называется событие,

состоящее в том, что произошло либо A, либо B, либо оба события одновременно.

Слайд 9

Произведение событий
Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в

том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.

Слайд 10

$Разность (дополнение) событий Разностью А\B событий А и В называется событие,$

Разность (дополнение) событий
Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее

в том, что А произошло, а В – нет.

Слайд 11

Виды событий:
События А и В называются совместными, если они могут произойти

оба в результате одного опыта. В противном случае события называются несовместными.
События А1, А2,…,Ап образуют полную группу, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы
События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них является более возможным, чем другое

Слайд 12

Схема случаев
Если все события, которые могут произойти в результате данного опыта,
а)

попарно несовместны;
б) равновозможны;
в) образуют полную группу,
то говорят, что имеет место схема случаев.

Слайд 13

Классическое определение вероятности
Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятных

этому событию, к числу возможных исходов:

Слайд 14

Другими пунктами аналогично:

Слайд 15

Аксиомы теории вероятностей
Аксиома 1. Каждому случайному событию A соответствует определенное число

Р(А), называемое его вероятностью и удовлетворяющее условию
0 ≤ P(A) ≤ 1
Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице.
Аксиома 3 (аксиома сложения вероятностей). Пусть A и В — несовместные события. Тогда вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей:
P(A+B)=P(A)+P(B)
Аксиома 3 допускает обобщение на случай нескольких событий, а именно: если события A1, A2, ..., An, попарно несовместны, то
P(A1+ A2+ ...+ An) = P(A1) + P(A2) + …+ P(An)

Слайд 16

Свойства вероятности
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Доказательство. Так как достоверное

событие всегда происходит в результате опыта, то все исходы этого опыта являются для него благоприятными, то есть т = п, следовательно, Р(А) = 1.
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Доказательство. Для невозможного события ни один исход опыта не является благоприятным, поэтому т = 0 и р(А) = 0.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых исходах опыта, но не при всех, следовательно, 0 < m < n, и из (1.1) следует, что 0 < p(A) < 1.

Слайд 17

Относительная частота. Статистическое определение вероятности.
относительная частоты W(A) события A - отношение

числа опытов, в которых наблюдалось событие А, к общему количеству проведенных испытаний:
где N – общее число опытов, М – число появлений события А.
Статистической вероятностью события считают его относительную частоту или число, близкое к ней.

Слайд 18

Теорема сложения вероятностей.
Вероятность р(А + В) суммы событий А и В

равна
Р (А + В ) = р (А) + р (В) – р (АВ).
Доказательство.

Слайд 19

Следствие 1.
Теорему сложения вероятностей можно распространить на случай суммы любого

числа событий. Например, для суммы трех событий А, В и С :
Р(А + В + С) = р(А) + р(В) + р(С) – р(АВ) – р(АС) – р(ВС) + р(АВС)

Слайд 20

Следствие 2.
Если события А и В несовместны, то mАВ =

0, и, следовательно, вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:
Р(А + В) = р(А) + р(В).

Слайд 21

Определение
Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу. Если одно

из них назвать А, то второе принято обозначать
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:
р(А) + р( ) = 1.

Слайд 22

Теорема умножения вероятностей.
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного

из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:
р (АВ) = р (А) · р (В/А).

Слайд 23

Независимые события
Определение: Событие В называется независимым от события А, если появление

события А не изменяет вероятности В, то есть р (В/А) = р (В).
Замечание. Если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Свойство независимости событий взаимно.
Теорема умножения для независимых событий имеет вид:
р (АВ) = р (А) · р (В)

Слайд 24

Вероятность появления хотя бы одного события
Теорема Вероятность появления хотя бы одного

из попарно независимых событий А1, А2,…, Ап равна
р (А) = 1 – q1q2…qn , где qi – вероятность события , противоположного событию Аi .

Введение. Основные понятия теории вероятностей. Элементы комбинаторики

Содержание

Основные формулы комбинаторикикомбинаторика – наука, изучающая комбинации, которые можно составить по

Предмет теории вероятностейТеория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным

Случайное событие: факт, который в результате опыта может произойти или не

ПерестановкиПерестановки – это комбинации, составленные из всех n элементов данного множества

РазмещенияРазмещения – комбинации из m элементов множества, содержащего n различных элементов,

СочетанияСочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных

Операции над событиями: Сумма событийСуммой (объединением) событий A и B называется событие,

Произведение событийПроизведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в

Разность (дополнение) событийРазностью А\B событий А и В называется событие, состоящее

Виды событий:События А и В называются совместными, если они могут произойти

Схема случаевЕсли все события, которые могут произойти в результате данного опыта,а)

Классическое определение вероятностиВероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятных

Другими пунктами аналогично:

Аксиомы теории вероятностейАксиома 1. Каждому случайному событию A соответствует определенное число

Свойства вероятностиСвойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.Доказательство. Так как достоверное

Относительная частота. Статистическое определение вероятности.относительная частоты W(A) события A - отношение

Теорема сложения вероятностей.Вероятность р(А + В) суммы событий А и В

Следствие 1. Теорему сложения вероятностей можно распространить на случай суммы любого

Следствие 2. Если события А и В несовместны, то mАВ =

ОпределениеПротивоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу. Если одно

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного

Независимые событияОпределение: Событие В называется независимым от события А, если появление

Вероятность появления хотя бы одного событияТеорема Вероятность появления хотя бы одного

Похожие презентации