Выполнила ст. гр. 4219-1 Прожуган Яна Теорема Минковского о многогранниках

Август 24, 2022

Главная
Математика
Выполнила ст. гр. 4219-1 Прожуган Яна Теорема Минковского о многогранниках

Содержание

2. Теорема, о которой пойдет речь, наряду со знаменитыми теоремами Эйлера, Коши, Александрова, принадлежит к числу наиболее
3. Выпуклые многогранники и их «ежи» Под выпуклым многогранником будем понимать пространственное тело, являющееся пересечением конечного числа
4. Введем важное понятие опорной плоскости. Плоскость, имеющая с данным многоранником общие точки, но оставляющая многогранник по
5. Так как многогранник выпуклый, каждая опорная плоскость содержит: ●либо единственную точку многогранника – вершину; ●либо целый
6. Теорема Минковского Предположим, что дана система векторов в трехмерном пространстве с нулевой сумой. Является ли она
7. Теорема 1: (Г.Минковский). Пусть {Fi} - множество векторов в пространстве, отложенных от одной точки, такое, что
8. Доказательство, данное Минковским, опирается на известный из Лагранжа. Другое доказательство было дано выдающимся росийским геометром А.Д.
9. Теорема Минковского (точнее, ее аналог) верна для многогранников любой размерности. Для случая плоских многоугольников она доказывается
10. Центрально-симметричные многогранники Теорема Минковского чрезвычайно продуктивна. С ее помощью доказывается ряд теорем: Теорема 2: Если еж
11. Теорема 3: Выпуклый многогранник Р тогда и только тогда центрально-симметричен, когда у каждой грани имеется параллельная
12. Многогранники с центрально-симметричными гранями Грани у центрально-симметричного многогранника не обязательно симметричны. Например, у октаэдра, который является
14. Скачать презентацию

Слайд 2

Теорема, о которой пойдет речь, наряду со
знаменитыми теоремами

Эйлера, Коши,
Александрова, принадлежит к числу
наиболее удивительных и глубоких
результатов о многогранниках.
●Эта теорема была доказана в 1897 году выдающимся немецким математиком Германом Минковским (1864-1909).

Слайд 3

Выпуклые многогранники и их «ежи»
Под выпуклым многогранником будем понимать пространственное

тело, являющееся пересечением конечного числа полупространств.

Слайд 4

Введем важное понятие опорной плоскости.
Плоскость, имеющая с данным

многоранником
общие точки, но оставляющая многогранник по
одну от себя сторону, называется опорной.

Слайд 5

Так как многогранник выпуклый, каждая опорная плоскость содержит:
●либо единственную

точку многогранника – вершину;
●либо целый отрезок многогранника – его ребро;
●либо целый многоугольник, называемый гранью.

Слайд 6

Теорема Минковского
Предположим, что дана система векторов в
трехмерном пространстве

с нулевой сумой.
Является ли она ежом какого-нибудь многогранника?
Удивительная теорема Минковского утверждает,
что да, является.

Слайд 7

Теорема 1: (Г.Минковский).
Пусть {Fi} - множество векторов в пространстве, отложенных

от одной точки, такое, что оно не лежит в одной плоскости. Тогда существует ограниченный многогранник Р, еж которого есть множество векторов. Более того, многогранник Р определен однозначно с точностью до параллельного переноса.
Для единственности многогранника условие выпуклости существенно.

Слайд 8

Доказательство, данное Минковским, опирается на
известный из Лагранжа.

Другое доказательство было
дано выдающимся росийским геометром А.Д.
Александровым(1912-1999).

Слайд 9

Теорема Минковского (точнее, ее
аналог) верна для многогранников
любой

размерности. Для случая плоских
многоугольников она доказывается
несложно.

Слайд 10

Центрально-симметричные многогранники
Теорема Минковского чрезвычайно
продуктивна. С ее помощью доказывается ряд

теорем:
Теорема 2: Если еж многогранника Р центрально-
симметричен, то многогранник Р также
центрально-симметричен.

Слайд 11

Теорема 3: Выпуклый многогранник Р тогда и только
тогда центрально-симметричен, когда

у каждой грани
имеется параллельная грань той же площади.
Теорема 4: Если выпуклый многогранник Р составлен
из конечного числа центрально-симметричных
многогранников Р1, Р2,….,Рк, то и сам многогранник Р
центрально-симметричен.

Слайд 12

Многогранники с центрально-симметричными гранями
Грани у центрально-симметричного многогранника не обязательно симметричны.

Например, у октаэдра, который является центрально-симметричным многогранником, все грани – треугольники. Так что симметричность граней не является необходимым условием центрально-симметричного многогранника. Но является ли она достаточным условием? Оказывается да, является.

Выполнила ст. гр. 4219-1 Прожуган Яна Теорема Минковского о многогранниках

Содержание

Теорема, о которой пойдет речь, наряду со знаменитыми теоремами

Выпуклые многогранники и их «ежи» Под выпуклым многогранником будем понимать пространственное

Введем важное понятие опорной плоскости. Плоскость, имеющая с данным

Так как многогранник выпуклый, каждая опорная плоскость содержит: ●либо единственную

Теорема Минковского Предположим, что дана система векторов в трехмерном пространстве

Теорема 1: (Г.Минковский). Пусть {Fi} - множество векторов в пространстве, отложенных

Доказательство, данное Минковским, опирается на известный из Лагранжа.

Теорема Минковского (точнее, ее аналог) верна для многогранников любой

Центрально-симметричные многогранники Теорема Минковского чрезвычайно продуктивна. С ее помощью доказывается ряд

Теорема 3: Выпуклый многогранник Р тогда и только тогда центрально-симметричен, когда

Многогранники с центрально-симметричными гранями Грани у центрально-симметричного многогранника не обязательно симметричны.

Похожие презентации