Квазистационарные токи

контуре без активного сопротивления

4.3 Свободные затухающие электрические
колебания

4.4 Вынужденные электрические колебания

Сегодня: *

4.5 Работа и мощность переменного тока

токами, изменяющимися во времени – переменными токами:
I = I0 sin(ωt + ϕ)
Закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа были установлены для постоянного тока. Однако они остаются справедливыми и для мгновенных значений изменяющегося тока.

Пусть l – длина электрической цепи.
Время распространения сигнала в данной цепи
Если то такие токи называются квазистационарными (Т – период колебаний тока).
При этом условии мгновенное значение силы тока во всех участках цепи будет постоянным.
Для частоты условие квазистационарности будет выполняться при длине цепи ~ 100 км.

Рассматривая в дальнейшем электрические колебания, мы будем считать, что токи квазистационарны.

sin ωt ;
По закону Ома:
U = IR = I0 R sin ωt - напряжение изменяется синфазно с током;
U0 = I0 R - амплитуда напряжения.

С, L
пренебрежимо малы

Векторная диаграмма напряжения на сопротивлении:

sin ωt,
По определению
Заряд конденсатора:
Напряжение отстает по фазе от тока на π/2 -амплитуда напряжения

R → 0, L → 0

кажущееся
сопротивление
емкости

при наличии переменного тока в катушке возникает ЭДС самоиндукции:
По закону Ома для участка цепи с ЭДС: U = IR – εC = - εC

Напряжение опережает по фазе ток на π/2
-амплитуда напряжения

Кажущееся сопротивление индуктивности
(основа работы дросселей)

C :

Сумма

- реактивная составляющая напряжения

- активная составляющая напряжения

sin (ωt + ϕ)
Фаза:

lL

сопротивление

R – активное сопротивление отвечает за потерю мощности в цепи.
X – реактивное сопротивление, определяет величину энергии пульсирующей в цепи с частотой 2ω.

параллельного

Импеданс соединений:

- последовательного

индуктивность (L) и ёмкость (С) называется колебательным контуром.

Рисунок 1

Колебания в контуре можно вызвать либо зарядив конденсатор, либо вызвав в индуктивности ток.
Т.к. R=0, то полная энергия контура E=const

поля максимальна (кинетич.) и наоборот...

электрического поля

энергия магнитного поля аналогична кинетической энергии;
Индуктивность L играет роль массы т
1/С – роль коэффициента жесткости k
Заряду q соответствует смещение маятника х
Силе тока I ~ скорость υ
Напряжению U ~ ускорение а

аналогична потенциальной энергии упругой деформации

= 0

(4.2.2)

(4.2.3)

Вновь мы получили диф. ур. второго порядка:

Решение уравнения - гармоническая функция:

Собственная
частота
контура

частотой
ω0 – собственная частота контура.
Период колебаний определяется по формуле Томсона:

(4.2.4)

напряжение опережает ток на π/2.

– волновое
сопротивл. [Ом].

Напряжение
на
конденсаторе

Ток в цепи:

Амплитуда тока

Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего колебания затухают.

Рисунок 3

затухающих колебаний в контуре R,L и C

- коэффициент затухания

- собственная частота контура

или

Частота
затухающих
колебаний

x – смещение маятника из положения равновесия,
силе тока I – скорость υ.

характеристикой контура.
Если затухание невелико

Т.к. коэффициент затухания
Период затух. колебаний
Тогда

Q
определяется как величина обратно

то

W – энергия контура в данный момент,
ΔW – убыль энергии за один период, следующий за этим моментом

Число колебаний совершаемых
за время затухания

Время затухания – время за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз

критическим сопротивлением:

При

апериодический разряд

(Т → ∞):

Колебаний не будет

Критическое сопротивление

напряжение U :

(4.4.1)

(4.4.2)

уравнение вынужденных электрических колебаний
совпадает с вынужденными механическими колебаниями.

уравнения при больших t:

(4.4.3)

Здесь амплитуда колебаний заряда:

R – активное сопротивление отвечает за потерю мощности в цепи.
X – реактивное сопротивление, определяет величину энергии пульсирующей в цепи с частотой 2ω.

напряжением обращается в нуль (φ = 0)

При последовательном соединении R, L, С, при
– наблюдается резонанс.

и

, а UC и UL одинаковы по амплитуде

Тогда

и противоположны по фазе. Такой вид резонанса называется резонансом напряжения или последовательным резонансом.

амплитудой

в узком диапазоне частот.
Этот эффект широко используется в различных усилительных устройствах.

и индуктивность наблюдается другой тип резонанса:

I2=Im2 cos(ωt - φ2)

т.к. φ1 = (2n +3/2 )π,

где n = 1,2,3….

Аналогично, при R =0, C =∞: I2=Im2 cos(ωt - φ2)

(4.4.7)

Im2 = U /ωL tg φ2 = +∞ , т.е. φ2= (2n + 1/2 ) π

где n = 1,2,3…..

цепи

т.е. токи

противоположны по фазе

(4.4.8)

Если

,

и

то

Ёмкость конденсатора можно подобрать так, что в результате резонанса ток в подводящих цепях резко уменьшается, зато ток через индуктивность возрастёт

тока в катушке индуктивности, при приближении частоты приложенного напряжения ω к ωрез называется резонансом токов, или параллельным резонансом
(Используется в резонансных усилителях, приемниках, а также в индукционных печах для разогрева металла).

сопротивления:
(вся работа переходит в тепло):
Напряжение на концах участка цепи: U = U0 sin ωt
Переменный ток в цепи: I = I0 sin ωt
Мгновенное значение мощности: Pt = IU = I0 U0 sin2 ωt

sin2 ωt dt
Работа переменного тока за период Т:
Cредняя мощность или

Действующие (или эффективные) значения тока и напряжения:

(средняя мощность уменьшается)

Работа переменного тока за период Т:
Cредняя мощность:

Cos ϕ - коэффициент мощности.
При сos ϕ = 0 Р = 0