Лемма 1.6: Пустое подмножество является ЛН.
Лемма 1.7: Любое подмножество S содержащее
0, является ЛЗ.
Доказательство:
Теорема 1.8:
Любое конечное подмножество S векторного пространства V содержат ЛН подмножество U с той же линейной оболочкой, что и S.
Доказательство:
Если S ЛН, то берем U = S и все доказано.
Если S ЛЗ, то ∃ sk так что sk = Σj≠k cj sj .
Из леммы 1.1, span S1 = span S, где S1 = S \ {sk} .
Если S1 ЛН, то все доказано.
В противном случае, повторяем процедуру изъятия элементов, пока не достигнем ЛН. QED.
∀ a ∈ F