Показатели вариации

Необходимость измерения вариации

Средняя величина характеризует совокупность по изучаемому признаку, такой характеристики

Необходимость измерения вариации

При значительном рассеивании индивидуальных значений необходимо рассчитать специальную систему

Показатели вариации

Используются две группы показателей вариации:
- абсолютные: размах вариации,

1. Размах вариации

РВ – разность между экстремальными значениями признака в совокупности.

Размах вариации

Недостаток РВ: он учитывает только крайние значения и не учитывает

2.Среднее линейное отклонение

Недостаток РВ устраняет показатель СЛО. Он рассчитывается по

Среднее линейное отклонение

а) для несгруппированных данных

б) для сгруппированных данных

Среднее линейное отклонение

У СЛО есть единица измерения.
Он обладает серьезным недостатком:

3. Дисперсия -

Это средний квадрат отклонений индивидуальных значений от средней величины.

Дисперсия

а) для несгруппированных данных

б) для сгруппированных данных

Расчет дисперсии
для вариационного ряда

Осуществляется при помощи
взвешенной формулы:

Свойства дисперсии

1.Если из всех вариант вычесть какую-либо константу, то дисперсия от этого

2.Если все варианты разделить на константу А, то дисперсия уменьшится от

3. Дисперсия равна разности среднего квадрата вариант и квадрата их средней:

4. Если рассчитать среднее квадратическое отклонение от любой константы А,

Расчет дисперсии упрощенным способом

Расчет дисперсии упрощенным способом осуществляется на основе перечисленных свойств по формуле:

,

Недостаток дисперсии состоит в том, что она имеет размерность вариант, возведенную

4.Среднее квадратическое отклонение

а) для несгруппированных данных

б) для сгруппированных данных

σ представляет собой среднее квадратическое отклонение вариант ряда

Среднее квадратическое отклонение
имеет единицы измерения , а также может принимать

Относительные показатели вариации

Относительные показатели вариации применяются для решения следующих задач:

- сравнение степени вариации

Коэффициент осцилляции

где

R - размах вариации

- среднее значение

Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака относительно среднего значения

Линейный коэффициент вариации

где

- среднее линейное отклонение

Коэффициент вариации

Характеризует долю усредненного значения отклонений от средней величины. При этом

Правило трех сигм

В условиях нормального распределения существует зависимость между величиной σ и количеством

На практике почти не встречаются отклонения, которые превышают 3σ. Отклонение в

Дисперсия альтернативного признака

Признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие, называются

где q- доля единиц, не обладающих признаком
p- доля единиц, обладающих

Среднее значение альтернативного признака

Дисперсия альтернативного признака :

Максимальное значение дисперсии альтернативного признака 0,25

Правило сложения дисперсий

Выделяют дисперсии:

Величина общей дисперсии характеризует вариацию признака под воздействием всех факторов, вызывающих

Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних или факторная дисперсия) характеризует систематическую вариацию,

где

– среднее значение изучаемого признака для i – й

Внутригрупповая (средняя из групповых или остаточная) дисперсия характеризует случайную вариацию, т.

где

- групповая дисперсия

Общая дисперсия равна сумме межгрупповой и внутригрупповой дисперсий:

Эмпирический коэффициент детерминации:

Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю общей вариации изучаемого

Эмпирическое корреляционное отношение :

Эмпирическое корреляционное отношение характеризует степень влияния группировочного признака

Моменты распределения

Обобщающие характеристики вариационного ряда могут быть представлены системой величин, носящих название

Формула момента k-го порядка:

где:

x – варианты
k – показатель степени
f –

1. При А = 0 получаем систему начальных моментов. Начальный момент

2. При А =

получаем систему центральных моментов.

Центральный момент

При А =

получаем систему условных моментов:

где:

– некоторый вариант ряда,

Нормированный момент представляет собой отношение центрального момента k-го порядка к k-ой

Нормированный момент

- первого порядка равен 0
- второго порядка

Показатели асимметрии и эксцесса

Симметричным называется такое распределение, при котором варианты, равноотстоящие от средней, имеют

Для характеристики асимметрии используется нормированный момент третьего порядка:

Если А = 0

Под эксцессом понимается степень островершинности распределения, при этом в качестве эталона

Формула коэффициента эксцесса:

Для нормального распределения Е = 0. Для более островершинных распределений, чем