Преодоление неопределенностей целей

Пример «Строительство аэропорта»

Критерии
Стоимость строительства
Расстояние от города
Минимальное шумовое воздействие

Пример (альтернативы)

А: $ 100 млн; 20 мин; 50 тыс. чел;
Б: $

МКЗ

(Ω, {fi}n, {⎬,~}),
где {fi}n - n целевых функций fi, каждая из

МКЗ

1. Цели взаимно нейтральны
2. Цели кооперируются
3. Цели конкурируют

Цели могут находиться друг

Цели нейтральны

xЄΩ1

…

xЄΩ

xЄΩn-1

Алгоритм решения МКЗ

уменьшить исходное множество альтернатив, убрав заведомо худшие
свести задачу к

МКЗ

x1 (f1(x1), f2(x1), …, fn(x1))
x2 (f1(x2), f2(x2), …, fn(x2))

?

Принцип Парето

Пусть x1 и x2 – альтернативы.
Если для i fi(x1)

Множество Парето

Оставшиеся альтернативы образуют множество Парето -
множество неулучшаемых альтернатив,

Множество Парето

или таких,
улучшение которых по одним критериям приводит к их

Критериальное пространство

В критериальном пространстве альтернативы
заданы точками,
проекции которых

Конус предпочтения

N-E

f1

f2

1

2

3

4

5

РТ

f2max

f2min

f1min

f1max

Поле полезности

N-E

f1max

f2max

f1min

f2min

АУТ

УТ

Р

Способы задания альтернатив

координатный
(альтернативы заданы своими координатами в критериальном пространстве)
графический

Множество Парето

Х1(2;7)
Х2(4;4)
Х3(3;6)
Х4(7;1)
Х5(5;3)
Х6(6;0)
Х7(4;3)

═>

Множество Парето

Р {Х1(2;7); Х2(4;4); Х3(3;6); Х4(7;1); Х5(5;3)}
АУТ (2;1)
УТ (7;7)

7

1

2

7

f1

f2

АУТ

УТ

Множество Парето

Множество Парето

Множество Парето

Все альтернативы из множества Парето являются решением многокритериальной задачи в

Перевод в однородную шкалу

fi*(x) - оценка альтернативы x по i-му критерию

Перевод в однородную шкалу

А: $ 100 млн; 20 мин; 50 тыс.

Принятие решений при неопределенности целей

Интегральный критерий
Метод Нэша
Метод контрольных показателей
Простейший метод
Введение метрики

Интегральный критерий

x (f1(х), f2(х), …, fn (х)) F(x)
Его роль

Метод арбитражных решений, или метод Нэша

АУТ( )

F(x)=

Пример

Р {Х1(2;7); Х2(4;4); Х3(3;6); Х4(7;1); Х5(5;3)}

F(x1)=(2-2)(7-1)=0
F(x2)=(4-2)(4-1)=6
F(x3)=(3-2)(6-1)=5
F(x4)=(7-2)(1-1)=0
F(x5)=(5-2)(3-1)=6

АУТ (2;1)

х2 ~ х5 по Нэшу

Использование контрольных показателей

{fi*}n, fi (x) ≥ fi*,

Пример

Р {Х1(2;7); Х2(4;4); Х3(3;6); Х4(7;1); Х5(5;3)}

Пусть f1*=3; f2*=2

АУТ (2;1)

F(x2)=min{4/3; 4/2}=4/3
F(x3)=min{3/3;

Простейший способ

Ранг, равный 1, присваивается главному критерию

Введение метрики в пространстве целевых функций

УТ(fimax)

Пример

Р {Х1(2;7); Х2(4;4); Х3(3;6); Х4(7;1); Х5(5;3)}

h(x1)=5
h(x2)=√18,
h(x3)= √17
h(x4)=6
h(x5)= √20

Пример

А: $ 100 млн; 20 мин; 50 тыс. чел;
Б: $ 130

Cвертка

здесь x – альтернатива из множества Парето
fi(x) – оценка альтернативы

Свертка

Ci – коэффициенты относительной важности критериев

Экспертное оценивание

Пусть rij – ранг, который присвоил
j–ый эксперт
i–му

Экспертное оценивание

Тогда коэффициент значимости i-го критерия с точки зрения j–го

Экспертное оценивание

Пусть gj – компетентность j–го эксперта, тогда

Ci

Оценивание

Th. Если
,
то Ci=hCj,
Ci>0, ∑Ci=1
Решая систему линейных уравнений, получим

Пример

, f2~ f3 , .

C1=3/8; C2=2/8; C3=2/8; C4=1/8

C1=1,5C2;
C2=C3;
C3=2C4;
C1+C2+C3+C4=1;

3/8 2/8

Использование линейной свертки

Это задачи, связанные с критериями
суммарного ущерба или

Квадратичная свертка

Свертка порядка t

Величина t, стоящая в показателе степени, отражает допустимую

недопустима никакая компенсация, и требуется выравнивание значений всех критериев
(равномерное «подтягивание»

3/8 2/8 2/8 1/8

t→0

- мультипликативная функция

требуется обеспечение примерно одинаковых уровней значений отдельных

В задачах планирования ударов «по узкому месту» допустима
компенсация увеличения одного

3/8 2/8 2/8 1/8

Свертка

Используя в качестве интегрального критерия свертку, выбирают в качестве лучшей

Multi-Attribute Utility Theory (MAUT)

Используется при возможном структурировании системы целей, представлении ее

Алгоритм MAUT

Оценивается частичная полезность каждой альтернативы по отношению к соответствующему критерию
Оцениваются

Пример: «Выбор местоположения предприятия»

Местоположение

ЗУ

Местоположение

П

МРиТ

ВГ

РЗУ

ЦЗУ

РО

ПП

КР

ТИ

ТЭФ

ППс

ПБУ

МС

СНД

0.2

0.35

0.25

0.2

0.3

0.5

0.2

0.6

0.4

0.4

0.2

0.25

0.15

0.6

0.4

А, Б, С

Оценка частичной полезности альтернатив по критерию

РЗУ, тыс. кв. м:
А – 60
Б

Показатели частичной полезности

U(A)=0,06-0,04+0,06+0,02+0,0375+0,0375+0,048+0,48=0,703
U(Б)=0,012-0,1+0,126+0,112+0,0625+0,12+0,08=0,4125
U(C)=-0,06-0,032+0,21+0,14+0,1+0,05+0,03=0,438

Применение

«+»: Относительно простой способ нахождения решения в МКЗ путем системного структурирования