Векторная алгебра.Линейные операции над векторами

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Векторная алгебра.Линейные операции над векторами

Содержание

2. ♦ Отрезок AB, у которого указаны его начальная точка A и конечная точка B, называется направленным
3. Равенство = означает, что направленные отрезки AB и CD определяют один и тот же вектор. ♦
4. ♦ Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они могут быть изображены направленными отрезками параллельных прямых (в
5. Линейные операции над векторами Правило треугольника Суммой + двух векторов называется вектор, начало которого лежит в
6. = Отсюда следует, что = + ♦ Сложение многих векторов может производиться при помощи последовательного применения
7. . ♦ Преобразование, обратное по отношению к вектору , называется противоположным вектором (обозначается ). Противоположный вектор
8. Умножение вектора на число. ♦ Произведением ненулевого вектора на число λ, называется вектор , коллинеарный вектору
9. ПрL Проекция вектора на ось. Пусть даны ось L и вектор = . Обозначим через А’
10. Введем единичные векторы (орты) i, j, k , направленные по осям координат. Они не равны, так
11. Пусть в пространстве Oxyz задан вектор Проекция , , вектора на оси координат называются координатами вектора
12. Рассмотренные выше линейные операции над векторами можно теперь записать в следующем виде: 1) - скаляр При
13. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов = ( ax; ay; az ) и =
15. Скачать презентацию

Слайд 2

♦ Отрезок AB, у которого указаны его начальная точка A и

конечная точка B, называется направленным отрезком.
Вектором называется любой параллельный перенос в пространстве.
Определенный так вектор может быть задан с помощью направленного отрезка AB, где А – какая-либо точка пространства, а В – ее образ при данном параллельном переносе.
Два направленных отрезка АВ и CD изображают один и тот же вектор, если их длины равны, прямые (АВ) и (CD) параллельны (в т.ч. совпадают), а направление от А к В одинаково с направлением от C к D.
Таким образом, направленных отрезков, изображающих один и тот же вектор, бесконечное множество.

Векторы. Основные понятия.

Слайд 3

Равенство
=
означает, что направленные отрезки
AB и CD определяют один и тот же

вектор.

♦ Длиной (модулем) вектора

называется длина отрезка AB.

Обозначения:

♦ Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым
и обозначается .
♦ Вектор, длина которого равна единице, называется единичным
(или ортом).

На чертежах вектор

будем обозначать стрелкой с началом

в точке А и концом в точке В:

Слайд 4

♦ Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они могут быть изображены

направленными отрезками параллельных прямых (в т.ч., одной и той же прямой).
♦ Три ненулевых вектора называются компланарными, если они могут быть изображены направленными отрезками, принадлежащими параллельным плоскостям (в том числе, одной и той же).

Слайд 5

Линейные операции над векторами Правило треугольника
Суммой
+
двух векторов
называется вектор, начало

которого лежит в начале вектора a
и конец в конце вектора b.

Правило параллелограмма

Если векторы отложены от общего начала

и на них построен параллелограмм, то сумма

есть вектор, совпадающий с вектором-диагональю этого параллелограмма, идущей из
общего начала векторов

Слайд 6

=
Отсюда следует, что
=
+
♦ Сложение многих векторов может производиться при помощи

последовательного применения правила треугольника.

Другое правило: сумма

векторов

, … строится так:

от произвольной точки 0 откладывают вектор

, затем от конца отложенного

вектора a откладывают вектор

, затем от конца отложенного вектора

откладывают вектор

и т.д. При этом началом вектора суммы

…

служит точка 0, а его концом – конец последнего отложенного вектора

Слайд 7

.
♦ Преобразование, обратное по отношению к вектору
, называется
противоположным вектором (обозначается

). Противоположный вектор

имеет ту же длину, что и вектор

, но направлен в сторону,

противоположную

♦ Разностью

называется такой вектор

, что

Легко видеть, что

+ (-

Т.е. построение разности равносильно прибавлению к одному вектору вектора, противоположного другому.
Свойства сложения векторов:

(

) +

+ (

)

+ (-

)

Слайд 8

Умножение вектора на число.
♦ Произведением ненулевого вектора
на число λ, называется

вектор

, коллинеарный вектору

, имеющий длину

=│λ│

и направленный в ту же сторону, что и вектор

, если λ>0,

и в противоположную, если λ<0

(отсюда: если

, λ≠0 то

- коллинеарны)

Свойства умножения вектора на число:

)

= λ(µ
= (λ+ µ)
= λ(
= λ ∙ 0 = 0

)

1. (λµ)
2. λ + µ
3. λ + λ
4. 0 ∙

Слайд 9

ПрL
Проекция вектора на ось.
Пусть даны ось L и вектор
=
.

Обозначим через А’ и В’ соответственно

проекции точек А и В на ось L.

Проекцией вектора

на ось L (обозначение: ПрL

называется число,

равное длине вектора

, взятое со знаком «+», если направления вектора

и оси L совпадают, и со знаком «-» в противном случае.

Аналогично определяется проекция вектора на вектор.

Справедлива формула:

cosφ , где φ – угол между вектором

и осью L.

Слайд 10

Введем единичные векторы (орты) i, j, k , направленные по осям

координат. Они не равны, так как являются единичными векторами неколлинеарных векторов.

Это разложение единственно!

Слайд 11

Пусть в пространстве Oxyz задан вектор
Проекция , , вектора

на оси координат называются координатами вектора

Def: Длина (модуль) вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Def: Расстояние между двумя точками пространства равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.

Слайд 12

Рассмотренные выше линейные операции над векторами можно теперь записать в следующем

виде:
1)
- скаляр

При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.
2)

При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (или вычитаются).

Слайд 13

Необходимое и достаточное условие коллинеарности
двух ненулевых векторов
= ( ax; ay;

az )

= ( bx; by; bz ) :

= λ

или

= λ

3) Векторы коллинеарные тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны.

Векторная алгебра.Линейные операции над векторами

Содержание

♦ Отрезок AB, у которого указаны его начальная точка A и

Равенство=означает, что направленные отрезкиAB и CD определяют один и тот же

♦ Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они могут быть изображены

Линейные операции над векторами Правило треугольника Суммой +двух векторов называется вектор, начало

=Отсюда следует, что =+♦ Сложение многих векторов может производиться при помощи

.♦ Преобразование, обратное по отношению к вектору , называетсяпротивоположным вектором (обозначается

Умножение вектора на число.♦ Произведением ненулевого вектора на число λ, называется

ПрL Проекция вектора на ось.Пусть даны ось L и вектор =.