Построение сечений многоранников - презентация по Геометрии

Август 30, 2022

Главная
Геометрия
Построение сечений многоранников - презентация по Геометрии

Содержание

2. Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии. А.С. Пушкин
3. Содержание Введение Сечение в разных областях Основные определения и понятия Базовые задачи Примеры Методы Литература
4. При изучении курса стереометрии большое значение имеет изображение пространственных фигур. При построении рисунка, изображающего пространственную фигуру,
5. Актуальность темы Выбор темы обусловлен, тем что: Изображение пространственных фигур на плоскости является одной из наиболее
6. Цель работы: познакомить со способами построения сечений многогранников, способствовать развитию пространственных представлений, выработке практических навыков в
7. Сечения в медицине
8. Сечения в истории и археологии
9. Сечения в архитектуре Золотое сечение пирамиды Хеопса
10. Основные определения Сечением многогранника P плоскостью называется фигура, состоящая из общих точек многогранника P и плоскости
11. При построении сечения многогранника, плоскостью α следует иметь в виду, что: Построение сечения сводится к построению
12. Осуществляя контроль за правильностью построения сечений многогранника, следует иметь в виду, что: если многогранник выпуклый, то
13. Осуществляя контроль за правильностью построения сечений многогранника, следует иметь в виду, что: Если многогранник выпуклый, то
14. Если две плоскости имеют две общие точки, то прямая, проведенная через эти точки, является линией пересечения
15. MєABC, NєSBC, C; SABC-тетраэдр. C є ABC, Mє ABC, CM∩AB=P. C є SBC, N є SBC,
16. II. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Базовые задачи
17. MєAS, α||ABC; SABC-тетраэдр. MN||AB, NєSB. MK||AC, KєSC. KN. MєCC1, AD1; ABCDA1B1C1D1- куб. MK||AD1, K є BC.
18. III. Общая точка трех плоскостей (вершина трехгранного угла) является общей точкой линий их парного пересечения (ребер
19. MєSA, NєSB, KєBC, SABC-тетраэдр. 1 Плоскости α, SAB, ABC образуют трехгранный угол, вершиной которого является точка
20. MєAB, NєAA1, KєA1D1; ABCDA1B1C1D1-куб. NK∩AD=F1 - вершина трехгранного угла образованного плоскостями α, ABC, ADD1. F1M∩CD=F2 -
21. Примеры решения задач 1) Сечение параллелепипеда по трем точкам, лежащим на трех параллельных ребрах (случай 1)
22. Q М R P N A B C D A1 B1 C1 D1 Построение: Отрезок MN.
23. P N М A B C A1 C1 D1 B1 D Q Построение: Отрезок MN. Отрезок
24. Строим сечение параллелепипеда по трем точкам, не лежащим на трех параллельных ребрах (случай 1) М Q
25. Строим сечение параллелепипеда по трем точкам, лежащим на трех соседних ребрах. N М P A B
26. Верно ли построено сечение? М N Q A B C A1 C1 D1 D B1 P
27. На рисунке слева сечение построено правильно, а справа нет, правильный вариант построения будет такой: М N
28. Небольшой тренинг для самопроверки Построить сечения, проходящее через данные точки
29. Все рассмотренные ранее построения плоских сечений многогранников осуществлялись на основании аксиом стереометрии и теорем о параллельности
30. Метод следов Определение: Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости
31. Алгоритм Строим проекции K', L', M' данных точек K, L, M на плоскость основания (параллельно боковым
32. рассмотрим на примере задача №1 Метод следов Построение: Х=l ∩ CD N=MX ∩ CC1 Y=l ∩
33. Небльшой тренинг на метод следов
35. Метод внутреннего проектирования В некоторых учебных пособиях метод построения сечений многогранников, который мы сейчас будем рассматривать,
36. Алгоритм построения сечения методом внутреннего проектирования. Построить вспомогательные сечения и найти линию их пересечения. Построить след
37. Пусть H- точка пересечения диагоналей AC и BD. Проведя прямую HH1 параллельную ребру BB1 (H1 є
38. Небольшой тренинг для самопроверки Построить сечение методом проектирования
39. Комбинированный метод Сущность комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в том, что на некоторых этапах построения
40. Задача. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, заданной точками P, Q, и R, если точка P
42. Скачать презентацию

Слайд 2

Вдохновение нужно в геометрии
не меньше, чем в поэзии.
А.С. Пушкин

Слайд 3

Содержание
Введение
Сечение в разных областях
Основные определения и понятия
Базовые задачи
Примеры
Методы
Литература

Слайд 4

При изучении курса стереометрии большое значение имеет изображение пространственных фигур. При

построении рисунка, изображающего пространственную фигуру, следует позаботится о том, чтобы
на чертеже были бы видны основные линии и углы;
положение изображаемого тела было оптимальным;
по разному отмечены видимые и невидимые линии;
правильно построены сечения и проекции на плоскость.
Пространственная задача сводится к одной или нескольким планиметрическим задачам при помощи различных приемов. Обратимся к методу сечений. Этот метод часто помогает найти наиболее эффективный способ решения стереометрической задачи.

Введение

Слайд 5

Актуальность темы
Выбор темы обусловлен, тем что:
Изображение пространственных фигур на плоскости

является одной из наиболее важных тем в стереометрии, но задачи на построение сечений вызывают у школьников затруднения.
В базовых программах по стереометрии на изучение сечений многогранников отводится 2 урока и задачи на построение сечений рассматриваются в достаточно простых случаях.
Данная тема способствует формированию и развитию у учащихся пространственных представлений. Развивает интерес к оперированию геометрическими понятиями и образами.

Слайд 6

Цель работы: познакомить со способами построения сечений многогранников, способствовать развитию пространственных

представлений, выработке практических навыков в построении сечений многогранников плоскостью.
Примечание: работа не содержит сложных случаев построения сечений

Слайд 7

Сечения в медицине

Слайд 8

Сечения в истории и археологии

Слайд 9

Сечения в архитектуре
Золотое сечение пирамиды Хеопса

Слайд 10

Основные определения

Сечением многогранника P плоскостью называется фигура, состоящая из общих

точек многогранника P и плоскости β
Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тела, называется секущей плоскостью.
Фигура, которая образуется при пересечении тела плоскостью (т.е. общая часть тела и секущей плоскости), называется сечением тела.

Слайд 11

При построении сечения многогранника, плоскостью α следует иметь в виду, что:
Построение

сечения сводится к построению линий пересечения плоскости α с гранями многогранника.
Сечение однозначно определяется тремя точками многоугольника.
Если точки сечения лежат на ребрах многогранника, то они являются вершинами многоугольника, который получится в сечении.
Если точки сечения лежат на гранях многогранника, то они лежат на сторонах многоугольника, который получится в сечении.
Если сечение пересекает две параллельные грани, то и отрезки (стороны многоугольника, который получится в сечении) будут параллельны.

Слайд 12

Осуществляя контроль за правильностью построения сечений многогранника, следует иметь в виду,

что:

если многогранник выпуклый, то сечение - выпуклый многоугольник, его граница - замкнутая ломаная;
каждое звено ломаной должно принадлежать одной из граней многогранника;
вершины многоугольника всегда лежат на ребрах многогранника.

Слайд 13

Осуществляя контроль за правильностью построения сечений многогранника, следует иметь в виду,

что:

Если многогранник выпуклый, то сечение - выпуклый многоугольник.
Вершины многоугольника всегда лежат на ребрах многогранника.
Если точки сечения лежат на ребрах многогранника, то они являются вершинами многоугольника, который получится в сечении.
Если точки сечения лежат на гранях многогранника, то они лежат на сторонах многоугольника, который получится в сечении.
Две стороны многоугольника, который получится в сечении, не могут принадлежать одной грани многогранника.
Если сечение пересекает две параллельные грани, то и отрезки (стороны многоугольника, который получится в сечении) будут параллельны.

Слайд 14

Если две плоскости имеют две общие точки, то прямая, проведенная через

эти точки, является линией пересечения этих плоскостей.

Базовые задачи

Слайд 15

MєABC, NєSBC, C; SABC-тетраэдр.
C є ABC, Mє ABC, CM∩AB=P.
C є SBC,

N є SBC, CN∩SB=Q.
P є ABS, Q є ABS, PQ.

MєAD, NєDCC1, D1; BCDA1B1C1D1-куб
M є ADD1, D1 є ADD1, MD1.
D1 є D1DC, N є D1DC, D1N∩DC=Q.
M є ABC, Q є ABC, MQ.

Слайд 16

II. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения

параллельны.

Базовые задачи

Слайд 17

MєAS, α||ABC; SABC-тетраэдр.
MN||AB, NєSB.
MK||AC, KєSC.
KN.
MєCC1, AD1; ABCDA1B1C1D1- куб.
MK||AD1, K є BC.
M

є DCC1, D1 є DCC1, MD1.
A є ABC, K є ABC, AK.

Слайд 18

III. Общая точка трех плоскостей (вершина трехгранного угла) является общей точкой

линий их парного пересечения (ребер трехгранного угла).

Базовые задачи

Слайд 19

MєSA, NєSB, KєBC, SABC-тетраэдр.
1 Плоскости α, SAB, ABC образуют трехгранный угол,

вершиной которого является точка F. AB∩MN=F.
2. FK∩AC=P.
3. PєSAC, MєSAC, MP.

решение

Слайд 20

MєAB, NєAA1, KєA1D1; ABCDA1B1C1D1-куб.
NK∩AD=F1 - вершина трехгранного угла образованного плоскостями α,

ABC, ADD1.
F1M∩CD=F2 - вершина трехгранного угла образованного плоскостями α, ABC, CDD1. F1M∩BC=P.
NK∩DD1=F3 - вершина трехгранного угла образованного плоскостями α, D1DC, ADD1.
F3F2∩D1C1=Q, F3F2∩CC1=L.

Слайд 21

Примеры решения задач
1) Сечение параллелепипеда по трем точкам,
лежащим

на трех параллельных ребрах (случай 1)
2) Сечение параллелепипеда по трем точкам,
лежащим на трех параллельных ребрах (случай 2)
3) Сечение параллелепипеда по трем точкам,
не лежащим на трех параллельных ребрах (случай 1)
4) сечение параллелепипеда по трем точкам,
лежащим на трех соседних ребрах.
5) Маленькая проверка

Слайд 22

Q
М
R
P
N
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
Построение:
Отрезок MN.
Отрезок NР.
РQ II MN,
PQ ∩ C1D1 =

Q.
MR II NP,
MR ∩ A1D1 = R.
Отрезок QR.
MNРQR – искомое сечение.

Сечение параллелепипеда по трем точкам,
лежащим на трех параллельных ребрах (случай 1)

Слайд 23

P
N
М
A
B
C
A1
C1
D1
B1
D
Q
Построение:
Отрезок MN.
Отрезок NР.
РQ II MN.
PQ ∩ DD1 = Q.

MQ II NP.
MNРQ – искомое сечение.

Строим сечение параллелепипеда по трем точкам,
лежащим на трех параллельных ребрах (случай 2)

Слайд 24

Строим сечение параллелепипеда по трем точкам,
не лежащим на трех

параллельных ребрах (случай 1)

Построение:
Отрезок MN.
Отрезок NР.
РQ II MN.
PQ ∩ А1В1 = Q.
Отрезок MQ.
MNРQ – искомое сечение.

Слайд 25

Строим сечение параллелепипеда по трем точкам,
лежащим на трех соседних

ребрах.

Построение:
Отрезок MN.
Отрезок NР.
Отрезок MР.
Δ MNР – искомое сечение.

Слайд 26

Верно ли построено сечение?
М
N
Q
A
B
C
A1
C1
D1
D
B1
P
М
N
A
C
C1
D
B1
P
Маленькая проверка
Ответ

Слайд 27

На рисунке слева сечение построено правильно, а справа нет, правильный вариант

построения будет такой:

Построение:
Отрезок MP.
Отрезок MN.
Отрезок NC.
MNCР – искомое сечение.

Слайд 28

Небольшой тренинг для самопроверки
Построить сечения, проходящее через данные точки

Слайд 29

Все рассмотренные ранее построения плоских сечений многогранников осуществлялись на основании

аксиом стереометрии и теорем о параллельности прямых и плоскостей.
Вместе с тем, существуют определенные методы построения плоских сечений многогранников Наиболее эффективными в школьном курсе геометрии являются следующие три метода:
метод следов;
метод внутреннего проектирования;
комбинированный метод.

Методы построения сечений многогранников

Слайд 30

Метод следов
Определение: Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость

основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания

Слайд 31

Алгоритм
Строим проекции K', L', M' данных точек K, L, M на

плоскость основания (параллельно боковым ребрам в случае призм и из вершины пирамиды как из центра проекции в случае пирамид); эту плоскость называют основной. Если какие-то из данных точек принадлежат основной плоскости, их проекции, конечно, строить не надо.
Пересекая прямые (KL, LM, MK), соединяющие данные точки, с их проекциями, находим точки пересечения этих прямых с основной плоскостью. Проходящая через них прямая есть след сечения на основании. Чтобы ее провести, достаточно найти хотя бы две ее точки.
Находим точки пересечения следа со сторонами основания или их продолжениями. Используя эти точки и те из данных точек, которые лежат на боковой поверхности многогранника, последовательно находим вершины сечения на боковых ребрах (как показано в примере), а в случае призмы – и на сторонах второго основания.

Слайд 32

рассмотрим на примере задача №1
Метод следов
Построение:
Х=l ∩

CD
N=MX ∩ CC1
Y=l ∩ BC
P=NY ∩ BB1
Z=l ∩ AB
Q=PZ ∩ AA1
T=l ∩ AE
R=QT ∩ EE1
9. MNРQ – искомое сечение.

Слайд 33

Небльшой тренинг на метод следов

Слайд 34

Слайд 35

Метод внутреннего проектирования
В некоторых учебных пособиях метод построения сечений многогранников,

который мы сейчас будем рассматривать, называют методом внутреннего проектирования или методом соответствий, или методом диагональных сечений. Мы примем первое название метода.
Сущность метода внутреннего проектирования рассмотрим на примерах построения сечений призмы и пирамиды.

Слайд 36

Алгоритм построения сечения методом внутреннего проектирования.
Построить вспомогательные сечения и найти линию

их пересечения.
Построить след сечения на ребре многогранника.
Если точек сечения не хватает для построения самого сечения повторить пп.1-2.

Слайд 37

Пусть H- точка пересечения диагоналей AC и BD. Проведя прямую HH1

параллельную ребру BB1 (H1 є RQ), построим точку F: F=PH1 ∩ CC1. Точка F- это точка пересечения секущей плоскости с ребром CC1. Точка прямая RF- это прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани CC1D1D, прямая QF- это прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани BCC1B1. Так как плоскость ABB1 параллельна плоскости CDD1, то секущая плоскость пересекает грань ABB1A1 по прямой QM (М є A1B1), параллельной прямой FR. Далее, если E- точка пересечения прямых MP и A1D1, то эта точка является точкой пересечения секущей плоскости и ребра A1D1.
Пятиугольник ERFQM- искомое сечение.

ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ СЕЧЕНИЯ
МЕТОДОМ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Слайд 38

Небольшой тренинг для самопроверки
Построить сечение методом проектирования

Слайд 39

Комбинированный метод
Сущность комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в том,

что на некоторых этапах построения сечения применяется или метод следов, или метод внутреннего проектирования, а на других этапах построение этого сечения осуществляется с использованием теорем, изученных в разделе “Параллельность в пространстве” и др.

Слайд 40

Задача. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, заданной точками P, Q,

и R, если точка P лежит на диагонали A1C1, точка Q- на ребре BB1 и точка R- на ребре DD1

Решение этой задачи с применением метода следов и теорем о параллельности прямых и плоскостей

Решение этой задачи, применяя метод внутреннего проектирования и теоремы о параллельности прямых и плоскостей

Построение сечений многоранников - презентация по Геометрии

Содержание

Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии.А.С. Пушкин

СодержаниеВведение Сечение в разных областяхОсновные определения и понятияБазовые задачиПримерыМетодыЛитература

При изучении курса стереометрии большое значение имеет изображение пространственных фигур. При

Актуальность темы Выбор темы обусловлен, тем что:Изображение пространственных фигур на плоскости

Цель работы: познакомить со способами построения сечений многогранников, способствовать развитию пространственных

Сечения в медицине

Сечения в истории и археологии

Сечения в архитектуреЗолотое сечение пирамиды Хеопса

Основные определения Сечением многогранника P плоскостью называется фигура, состоящая из общих

При построении сечения многогранника, плоскостью α следует иметь в виду, что:Построение

Осуществляя контроль за правильностью построения сечений многогранника, следует иметь в виду,

Осуществляя контроль за правильностью построения сечений многогранника, следует иметь в виду,

Если две плоскости имеют две общие точки, то прямая, проведенная через

MєABC, NєSBC, C; SABC-тетраэдр.C є ABC, Mє ABC, CM∩AB=P.C є SBC,

II. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения

MєAS, α||ABC; SABC-тетраэдр.MN||AB, NєSB.MK||AC, KєSC.KN.MєCC1, AD1; ABCDA1B1C1D1- куб.MK||AD1, K є BC.M

III. Общая точка трех плоскостей (вершина трехгранного угла) является общей точкой

MєSA, NєSB, KєBC, SABC-тетраэдр.1 Плоскости α, SAB, ABC образуют трехгранный угол,

MєAB, NєAA1, KєA1D1; ABCDA1B1C1D1-куб.NK∩AD=F1 - вершина трехгранного угла образованного плоскостями α,

Примеры решения задач 1) Сечение параллелепипеда по трем точкам, лежащим

QМRPNABCDA1B1C1D1Построение: Отрезок MN.Отрезок NР.РQ II MN, PQ ∩ C1D1 =

PNМABCA1C1D1B1DQПостроение: Отрезок MN.Отрезок NР.РQ II MN. PQ ∩ DD1 = Q.

Строим сечение параллелепипеда по трем точкам, не лежащим на трех

Строим сечение параллелепипеда по трем точкам, лежащим на трех соседних

Верно ли построено сечение?МNQABCA1C1D1DB1PМNACC1DB1PМаленькая проверкаОтвет

На рисунке слева сечение построено правильно, а справа нет, правильный вариант

Небольшой тренинг для самопроверкиПостроить сечения, проходящее через данные точки

Все рассмотренные ранее построения плоских сечений многогранников осуществлялись на основании

Метод следов Определение: Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость

АлгоритмСтроим проекции K', L', M' данных точек K, L, M на

рассмотрим на примере задача №1Метод следов Построение: Х=l ∩

Небльшой тренинг на метод следов

Метод внутреннего проектирования В некоторых учебных пособиях метод построения сечений многогранников,

Алгоритм построения сечения методом внутреннего проектирования.Построить вспомогательные сечения и найти линию

Пусть H- точка пересечения диагоналей AC и BD. Проведя прямую HH1

Небольшой тренинг для самопроверкиПостроить сечение методом проектирования

Комбинированный метод Сущность комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в том,

Задача. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью α, заданной точками P, Q,

Похожие презентации

Вдохновение нужно в геометрии
не меньше, чем в поэзии.
А.С. Пушкин

Содержание
Введение
Сечение в разных областях
Основные определения и понятия
Базовые задачи
Примеры
Методы
Литература

Актуальность темы
Выбор темы обусловлен, тем что:
Изображение пространственных фигур на плоскости

Сечения в архитектуре
Золотое сечение пирамиды Хеопса

Основные определения

Сечением многогранника P плоскостью называется фигура, состоящая из общих

При построении сечения многогранника, плоскостью α следует иметь в виду, что:
Построение

MєABC, NєSBC, C; SABC-тетраэдр.
C є ABC, Mє ABC, CM∩AB=P.
C є SBC,

MєAS, α||ABC; SABC-тетраэдр.
MN||AB, NєSB.
MK||AC, KєSC.
KN.
MєCC1, AD1; ABCDA1B1C1D1- куб.
MK||AD1, K є BC.
M

MєSA, NєSB, KєBC, SABC-тетраэдр.
1 Плоскости α, SAB, ABC образуют трехгранный угол,

MєAB, NєAA1, KєA1D1; ABCDA1B1C1D1-куб.
NK∩AD=F1 - вершина трехгранного угла образованного плоскостями α,

Примеры решения задач
1) Сечение параллелепипеда по трем точкам,
лежащим

Q
М
R
P
N
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
Построение:
Отрезок MN.
Отрезок NР.
РQ II MN,
PQ ∩ C1D1 =

P
N
М
A
B
C
A1
C1
D1
B1
D
Q
Построение:
Отрезок MN.
Отрезок NР.
РQ II MN.
PQ ∩ DD1 = Q.

Строим сечение параллелепипеда по трем точкам,
не лежащим на трех

Строим сечение параллелепипеда по трем точкам,
лежащим на трех соседних

Верно ли построено сечение?
М
N
Q
A
B
C
A1
C1
D1
D
B1
P
М
N
A
C
C1
D
B1
P
Маленькая проверка
Ответ

Небольшой тренинг для самопроверки
Построить сечения, проходящее через данные точки

Метод следов
Определение: Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость

Алгоритм
Строим проекции K', L', M' данных точек K, L, M на

рассмотрим на примере задача №1
Метод следов
Построение:
Х=l ∩

Метод внутреннего проектирования
В некоторых учебных пособиях метод построения сечений многогранников,

Алгоритм построения сечения методом внутреннего проектирования.
Построить вспомогательные сечения и найти линию

Небольшой тренинг для самопроверки
Построить сечение методом проектирования

Комбинированный метод
Сущность комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в том,