Векторы в пространстве

Август 31, 2022

Главная
Геометрия
Векторы в пространстве

Содержание

2. Это учебник создан для экзамена по геометрии. В нем рассмотрена темы 10-го класса- Векторы в пространстве,
3. Абсолютная величина и направление вектора. Векторы в пространстве Действия над векторами: Тест Об авторе Содержание
4. Вектором мы будем называть направленный отрезок (рисунок 1) . Направление вектора определяется указанием его начала и
5. Рисунок 1 Назад
6. Векторы называются одинаково направленными, если полупрямые АВ и СD одинаково направлены. Векторы называются противоположно направленными, если
7. Рисунок 2 Назад
8. В пространстве, как и на плоскости, вектором называется направленный отрезок. Буквально так же, как и на
9. Так же, как и на плоскости, определяются действия над векторами: сложение, разность , умножение на число
10. Суммой векторов (a1; а2; а3) и (b1; b2; b3) называется вектор: (a1 + b1; а2 +
11. Пусть A (х1; у1),В(х2; у2),С(х3; у3) -данные точки (рисунок 3) .Вектор имеет координаты х2-х1,y2-y1, вектор имеет
12. Рисунок 3 Назад
13. Разностью векторов (а1;а2;a3) и (b1; b2;b3) называется такой вектор (с1; с2;c3), который в сумме с вектором
14. Дано: -имеют общее начало Доказать: Задача 2 Решение Назад
15. Решение: Задача 2 Назад Рисунок
16. Рисунок Назад
17. Дано: A(2;7;-3) B(1;0;3) C(-3;-4;5) D(-2;3;-1) Найти: Среди всех векторов указать равные Надо найти координаты всех векторов
18. Дано: (1;2;3) Найти: Коллинеарный вектор с началом в точке A(1;1;1) и концом B на плоскости xy.
19. Произведением вектора а(a1; а2; a3) на число λ называется вектор Так же, как и на плоскости,
20. Скалярным произведением векторов и называется число a1b1 +a2b2 +a3b3. Буквально так же, как и на плоскости,
21. Дано: A(0;1;-1) B(1;-1;2) C(3;1;0) D(2;-3;1) Найти: cosφ=? Решение: Координатами вектора будут: 1-0=1, -1-1=-2, 2-(-1)=3 Координатами вектора
23. Скачать презентацию

Слайд 2

Это учебник создан для экзамена по геометрии.
В нем рассмотрена темы

10-го класса- Векторы в пространстве, и действия над векторами в пространстве.
Уверена вам понравится!!!

Цели работы

Слайд 3

Абсолютная величина и направление вектора.
Векторы в пространстве
Действия над векторами:
Тест
Об авторе
Содержание

Слайд 4

Вектором мы будем называть направленный отрезок (рисунок 1) . Направление

вектора определяется указанием его начала и конца. На чертеже направление вектора отмечается стрелкой. Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами а, Ь, с, ... . Можно также обозначить вектор указанием его начала и конца. При этом начало вектора ставится на первом месте. Вместо слова «вектор» над буквенным обозначением вектора иногда ставится стрелка или черта. Вектор на рисунке 1 можно обозначить так:
или

Величина и направление
вектора

Содержание

Слайд 5

Рисунок 1
Назад

Слайд 6

Векторы называются одинаково направленными, если полупрямые АВ и СD одинаково

направлены. Векторы называются противоположно направленными, если полупрямые АВ и СD противоположно направлены. На рисунке 212 векторы одинаково направлены, а векторы противоположно направлены.
Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина
вектора а обозначается .
Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулем с черточкой . О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю(Рисунок 2) .

Величина и направление
вектора

Слайд 7

Рисунок 2
Назад

Слайд 8

В пространстве, как и на плоскости, вектором называется направленный отрезок.

Буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов.
Координатами вектора с началом в точке
А1(х1; у1; z1) и концом в точке А2(х2;y2;z2) называются числа х2 - х1, у2 - у1, z2 - z1. Так же, как и на плоскости, доказывается, что равные векторы имеют соответственно равные координаты и, обратно, векторы с соответственно равными координатами равны. Это дает основание для обозначения вектора его координатами:
а (a1, a2; а3) или просто (а1; а2; а3).

Содержание

Векторы в пространстве

Задача 1

Слайд 9

Так же, как и на плоскости, определяются действия над векторами:

сложение, разность , умножение на число и скалярное произведение.

Действия над векторами
в пространстве

Содержание

Слайд 10

Суммой векторов (a1; а2; а3) и (b1; b2; b3) называется

вектор: (a1 + b1; а2 + b2; а3 + b3).
Так же,как и на плоскости, доказывается векторное равенство (доказательство) :

Сумма векторов

Задача 3

Слайд 11

Пусть A (х1; у1),В(х2; у2),С(х3; у3) -данные точки (рисунок 3)

.Вектор имеет координаты х2-х1,y2-y1, вектор имеет координаты х3 - х2, у3-y2. Следовательно, вектор имеет координаты х3-х1, у3-у1. А это есть координаты вектора . Значит, векторы равны. Теорема доказана.

Доказательство

Слайд 12

Рисунок 3
Назад

Слайд 13

Разностью векторов (а1;а2;a3) и (b1; b2;b3) называется такой вектор (с1;

с2;c3), который в сумме с вектором дает вектор : Ь . Отсюда находим координаты вектора :
c1=a1-b1;c2=a2-b2;c3=a3-b3

Разность векторов

Задача 2

Слайд 14

Дано:
-имеют общее начало
Доказать:
Задача 2
Решение
Назад

Слайд 15

Решение:
Задача 2
Назад
Рисунок

Слайд 16

Рисунок
Назад

Слайд 17

Дано:
A(2;7;-3)
B(1;0;3)
C(-3;-4;5)
D(-2;3;-1)
Найти:
Среди всех векторов указать равные
Надо

найти координаты всех векторов и сравнить эти координаты.
:1-2=-1, 0-7=- 7, 3-(-3)=6
У вектора такие же координаты: -3-(-2)=-1, -4-3=-7, 5-(-1)=6. Значит и равны. Другой парой равных векторов будут и

Задача 1

Решение:

Слайд 18

Дано:
(1;2;3)
Найти:
Коллинеарный вектор с началом в точке A(1;1;1) и

концом B на плоскости xy.

Координата z точки В равна нулю. Координаты вектора : х-1, у-1, 0-1 1=-1. Из коллинеарности векторов и получаем пропорцию:
Отсюда находим координаты x, y точки B:

Задача 3

Решение:

Слайд 19

Произведением вектора
а(a1; а2; a3) на число λ называется

вектор
Так же, как и на плоскости, доказывается, что абсолютная величина вектора λа равна \λ\ \ \, а направление совпадает с направлением вектора , если λ> 0, и противоположно направлению вектора , если λ<0.

Произведение вектора

Слайд 20

Скалярным произведением векторов
и называется число a1b1 +a2b2 +a3b3.

Буквально так же, как и на плоскости, доказывается, что скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между векторами.

Скалярное произведение
векторов

Задача 4

Слайд 21