Алгебра логики

логики

логическое уравнение устройства

законы алгебры логики

котором нечто утверждается

предиката суждения (P) – класс вещей; предикат выражает то, что утверждается относительно S;

утвердительной или отрицательной связки « есть » или « не есть », которая ставится между S и P

слов « все », « некоторые », « ни один », которые ставятся перед субъектом

Суждения

Суждение может быть истинным , ложным или неопределённым

Состав

Суждение простым , если ни одна его часть не может рассматриваться как суждение

формой его языкового выражения, оно называется высказыванием. Термин «суждение» употребляют, когда отвлекаются от того, какова именно его знаковая форма

Логические связки
знак ┐ или – аналог частицы «НЕ»;
знак ∧ – аналог союза «И»;
знак ∨ – аналог союза «ИЛИ»;
знак → – аналог словосочетания «ЕСЛИ ...ТО»;
знак ↔ – аналог словосочетания «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА».

Сложные высказывания, как и сложные предложения, также составляются из простых, а роль знаков препинания, союзов или оборотов при этом играют логические связки

может принимать только одно из двух возможных значений – 0 (заменяет словесное обозначение "лжи") или 1 (синоним "истины").

Логическая функция, аналогом которой можно считать составное высказывание, принимает только значения 0 или 1, причём последние "вычисляются" в результате выполнения логических операций, входящих в соответствующую логическую формулу, на основе таблиц истинности

В таблице истинности отображаются все возможные сочетания (комбинации) входных переменных и соответствующие им значения функции y, получающиеся в результате выполнения какой-либо логической операции.

положения алгебры логики

алгебры логики

логики

Основные положения алгебры логики

которой зависит от истинности других функций - аргументов сложной функции.

Лекция 10. Алгебра логики

Основные положения алгебры логики

конъюнкция → дизъюнкция → сильная дизъюнкция → импликация → эквиваленция

Убывание приоритета

Лекция 10. Алгебра логики

Основные положения алгебры логики

функция равна 1, записываем логическое произведение переменных, причём, если какой-то аргумент в этом наборе равен 0, берется его отрицание, затем все полученные произведения логически складываются.

Лекция 10. Алгебра логики

Основные положения алгебры логики

= Y ˄ X

Cочетательный закон

X ∨ Y ∨ Z = (X ∨ Y) ∨ Z = X ∨(Y ∨ Z);

Закон идемпотентности

X ∨ X = X; X ˄ X = X.

X ∨ Y = Y ∨ X;
X ˄ Y = Y ˄ X

X ∨ Y ∨ Z = (X ∨ Y) ∨ Z = X ∨(Y ∨ Z)

X ∨ X = X; X ˄ X = X

Лекция 10. Алгебра логики

Законы и тождества алгебры логики

= Y ˄ X

Закон двойного отрицания

X ∨ Y ∨ Z = (X ∨ Y) ∨ Z = X ∨(Y ∨ Z);

Закон двойственности (Правило де Моргана)

X ∨ X = X; X ˄ X = X.

(X ∨ Y)· ˄ Z =
X·˄ Z ∨ Y·˄ Z X

( X ) = X

X ∨ Y = X ˄ Y
X ˄ Y = X ∨ Y

Продолжение

Лекция 10. Алгебра логики

Законы и тождества алгебры логики

˄ Y = Y ˄ X

Правило поглощения

X ∨ Y ∨ Z = (X ∨ Y) ∨ Z = X ∨(Y ∨ Z);

Правило склеивания

X ∨ X = X; X ˄ X = X.

(X ∨ X = 1

X ∨ (X ˄ Y) = X
X ˄ (X ∨ Y) = X

(X ˄ Y) ∨ (X ˄ Y) = X
(X ∨ Y) ˄ (X ∨ Y) = X

Лекция 10. Алгебра логики

Законы и тождества алгебры логики

Продолжение

дизъюнкции образуют полную систему логических операций

Все логические операции можно выразить через отрицание , конъюнкцию и дизъюнкцию

Лекция 10. Алгебра логики

Алгебра логики

Комбинационные схемы

Цифровой автомат

y в каждый дискретный момент времени ti однозначно определяется комбинацией входных сигналов x, поступивших на входы схемы в этот же момент времени. Соответствие между входом и выходом задается табличным способом или в аналитической форме

y1 = f1 ( x1, x2, …, xn),
y2 = f2 ( x1, x2, …, xn),
…
ym = fm ( x1, x2, …, xn).

причем может переходить из одного из них в другое под воздействием входного слова с получением соответствующих выходных слов. Переход от заданных условий работы цифрового автомата к его функциональной схеме осуществляется с помощью аппарата алгебры логики

Обязательно содержит память.