Четырехугольники и систематизировать свои знания. Электронное пособие по геометрии. 2012 год

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ

Виды четырёхугольников

Ромб

Произвольный четырёхугольник

Параллелограмм

Прямоугольник

Квадрат

Трапеция

Равнобокая

Произвольный четырёхугольник

Сумма внутренних углов равна 360°.

α+β+γ+δ=360°.

Площадь
(через диагонали и угол между ними):

d1

d2

ϕ

S=

Четырехугольник , описанный около окружности

Четырехугольник можно описать около окружности, если суммы

Четырехугольник, вписанный в окружность

α

δ

γ

β

c

b

d

a

d1

d2

c

b

d

a

Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих

Параллелограмм

Определение: параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства

Свойства параллелограмма (продолжение)

a

b

d

d1

d2

Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон

d12+d22=a2+b2+c2+d2

Каждая диагональ

Признаки параллелограмма.

Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот

Площадь параллелограмма

a

b

h b

ha

Через сторону и опущенную на неё высоту

a

b

α

Через две прилежащие

Свойство произвольного четырехугольника, связанное с параллелограммом.

Если соединить отрезками середины соседних сторон

РОМБ.

Особое свойство ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы

Окружность, вписанная в ромб.

B

В любой ромб можно вписать окружность. Радиус r

Площадь ромба.

Через сторону и высоту:
S=ah
Через сторону и радиус вписанной

Прямоугольник.

Особое свойство прямоугольника: диагонали прямоугольника равны.

Две стороны параллельны и углы,

Окружность, описанная около прямоугольника.

a

d

R

b

Около любого прямоугольника можно описать окружность.
Радиус описанной окружности

Площадь прямоугольника.

Связь между прямоугольником и ромбом.

Если соединить отрезками середины соседних сторон любого

Квадрат.

Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

90°

Четырёхугольник имеет четыре оси симметрии:
-прямые,

Окружность, описанная около квадрата.

a

R

Окружность, вписанная в квадрат.

В квадрат можно вписать окружность.
Радиус вписанной окружности равен

Площадь квадрата.

Через сторону:
S=a2

Через диагональ:

Трапеция.

Определение: Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две

Элементы трапеции

a, b – основания(a||b),

m, n – боковые стороны,

d1, d2 –

Площадь трапеции.

Через полусумму оснований и высоту:

Через среднюю линию и высоту:

Через диагонали

Свойства трапеции.

M

N

b

a

h

Средняя линия параллельна основаниям, равна их полусумме и делит любой
отрезок

Свойства трапеции.

Сумма углов, прилежащих к любой боковой стороне, равна 180°:
α +

Свойства трапеции.

Треугольники AOB и DOC, образованные
боковыми сторонами и отрезками диагоналей,

Свойства трапеции.

Треугольники AOD и СОВ, образованные основаниями и отрезками диагоналей, подобны.

Коэффициент

Любой отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции,

Любую равнобедренную трапецию можно вписать в окружность.
Вписать в окружность можно только