Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Замечание

Понятия
«больше»,
«меньше»
для комплексных чисел не определяются.
Записи
,
и им подобные лишены всякого

Формула сложения комплексных чисел в новых обозначениях записывается так:
. (1)
Она дает

Умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, производится следующим образом:
. (2)

Положив в этой формуле
,
,
получим важное соотношение

или, применяя для произведения
сокращенное обозначение
,
имеем:
.

Пример 1.

Найти сумму и произведение комплексных чисел
и .
Решение.
,
.

Определение 1.

Комплексное число
называется сопряженным к числу
и обозначается
.

Утверждение.

Для любых комплексных чисел
имеют место равенства:
1) ,
2) ,
3) ,
4) .
Все

Деление комплексных чисел в алгебраической форме производится согласно следующей формуле:
.

Произведем преобразование
другим способом.
Умножим числитель и знаменатель на
,
получим:

Другими словами, чтобы найти частное двух комплексных чисел надо
числитель и знаменатель
умножить

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Возьмем на плоскости декартову систему координат XOY и

В итоге комплексному числу
будет сопоставлена точка М плоскости.
Соответствие между комплексными

Определение 2.

Расстояние от точки О координатной плоскости XOY до точки М,

Определение 2.

Наименьший угол, на который нужно повернуть ось ОХ против часовой

Определение 2.
Непосредственно из рисунка видно, что модуль числа
находится по формуле:

Аргумент числа
определяется из формулы
при
;

определяется неоднозначно,
а с точностью до слагаемого, кратного :
,
где
есть главное

φ

Из изображения комплексного числа
следует, что
, ,
и, следовательно,
.

Запись комплексного числа в виде
называется тригонометрической формой комплексного числа.

Теорема

Для любых комплексных чисел
и
справедливы равенства:
1) ;
2) .

Теорема

Если ,
то справедливо равенство:
3) .
Доказательство равенств провести в качестве упражнений.

Формула
называется формулой Муавра
в честь английского математика
А. де Муавра (1667 – 1754).

Наряду с этой формулой им же была выведена и формула извлечения

Пусть
возведем обе части равенства в степень n
и, воспользовавшись, формулой Муавра получим:

В силу равенства двух комплексных чисел получаем равенства:
и
или
и

где k – некоторое целое число,
- арифметический корень из действительного

Таким образом,
,
причем
.

Пример.

Найти все значения корня .
Имеем в тригонометрической форме число
Согласно формуле

Получим три значения:
;
;
.

Переведем комплексное число, записанное в тригонометрической форме в алгебраическую форму.
;

Поэтому

Применение формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений.

Пример

Выразить
через
Имеем соотношение

Возведя правую часть в 5-ую степень, получим

пользуемся тем, что

Из равенства чисел, получим

откуда
мы поделили числитель и знаменатель на