Дифференцирование показательной и логарифмической функции

Август 6, 2022

Главная
Математика
Дифференцирование показательной и логарифмической функции

Содержание

2. Число е. Функция y = ex, её свойства, график, дифференцирование
3. Рассмотрим показательную функцию y = аx , где а > 1. Построим для различных оснований а
4. 1)Все графики проходят через точку (0 ; 1); 2) Все графики имеют горизонтальную асимптоту у =
5. Проведем касательную к графику функции y = 2x в точке х = 0 и измерим угол
7. С помощью точных построений касательных к графикам можно заметить, что если основание а показательной функции y
9. График и свойства функции y = еx : 1) D (f) = ( - ∞; +
10. В курсе математического анализа доказано, что функция y = еx имеет производную в любой точке х:
11. Пример 1. Провести касательную к графику функции в точке x=1. Решение: 1) =1 2) f( )=f(1)=e
12. Пример 2. Вычислить значение производной функции в точке x = 3. Решение: Ответ: 4
13. Пример 3. Исследовать на экстремум функцию Решение: 1) 2) х=0 и х=-2
14. 3) -2 x 0 + + - 4) х = -2 – точка максимума х =
15. Натуральные логарифмы. Функция y = ln x, её свойства, график, дифференцирование
16. Если основанием логарифма служит число е, то говорят, что задан натуральный логарифм. Для натуральных логарифмов введено
17. Свойства функции y = ln x: 1) D (f) = ( 0; + ∞); 2) не
18. В курсе математического анализа доказано, что для любого значения х>0 справедлива формула дифференцирования
19. Вычислить значение производной функции в точке x = -1. Пример 4: Решение: Ответ: 1,5
20. Дифференцирование функции Например:
21. Дифференцирование функции
24. Скачать презентацию

Слайд 2

Число е. Функция y = ex, её свойства, график, дифференцирование

Слайд 3

Рассмотрим показательную функцию y = аx , где а > 1.
Построим

для различных оснований а графики:
1. y = 2x

2. y = 3x

(1 вариант)

3. y = 10x

(2 вариант)

Слайд 4

1)Все графики проходят через точку (0 ; 1);
2) Все графики имеют

горизонтальную асимптоту у = 0
при х ? ∞;
3) Все они обращены выпуклостью вниз;
4) Все они имеют касательные во всех своих точках.

Слайд 5

Проведем касательную к графику функции y = 2x в

точке х = 0 и измерим угол , который образует касательная с осью х

Слайд 6

Слайд 7

С помощью точных построений касательных к графикам можно заметить, что

если основание а показательной функции y = аx постепенно увеличивается основание от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке х = 0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35’ до 66,5’.
Следовательно существует основание а, для которого соответствующий угол равен 45’. И это значение а заключено между 2 и 3, т.к. при а = 2 угол равен 35’, при а = 3 он равен 48’.
В курсе математического анализа доказано, что данное основание существует, его принято обозначать буквой е.
Установлено, что е – иррациональное число, т. е. представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь:
е = 2, 7182818284590… ;
На практике обычно полагают, что е ≈ 2,7.

Слайд 8

Слайд 9

График и свойства функции y = еx :
1) D (f)

= ( - ∞; + ∞ );
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
значения;
6) непрерывна;
7) E (f) = ( 0; + ∞ );
8) выпукла вниз;
9) дифференцируема.

Функцию y = еx называют экспонентой.

Слайд 10

В курсе математического анализа доказано, что функция y = еx имеет

производную в любой точке х:

(ex) = ex

(е5х)' = 5е5х

(е-4х+1)' = -4е-4х-1

(ех-3)' = ех-3

Слайд 11

Пример 1. Провести касательную к графику функции в точке x=1.
Решение:
1) =1
2)

f( )=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = ex

Ответ:

y=ex

Слайд 12

Пример 2.
Вычислить значение производной функции в точке x = 3.
Решение:
Ответ:
4

Слайд 13

Пример 3.
Исследовать на экстремум функцию
Решение:
1)
2)
х=0 и х=-2

Слайд 14

3)
-2
x
0
+
+
-
4)
х = -2 – точка максимума
х = 0 – точка минимума

Ответ:

Слайд 15

Натуральные логарифмы. Функция y = ln x, её свойства, график, дифференцирование

Слайд 16

Если основанием логарифма служит число е, то говорят, что задан натуральный

логарифм. Для натуральных логарифмов введено специальное обозначение ln (l – логарифм, n – натуральный).

Слайд 17

Свойства функции y = ln x:
1) D (f) = (

0; + ∞);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на ( 0; + ∞);
4) не ограничена;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7) Е (f) = ( - ∞; + ∞ );
8) выпукла верх;
9) дифференцируема.

График и свойства функции y = ln x

Слайд 18