Содержание
- 2. Студент должен знать понятия неопределённого и определённого интегралов; свойства интегралов; таблицу неопределённых интегралов; методы интегрирования; формулу
- 3. Заполните таблицу
- 4. Первообразная (определение) y = F(x), y = f(x), D(F) = D(f) = X, F(x) – первообразная
- 5. Определить первообразную функции f(x) = 3x2 F(x) = x3 т.к. F′(x) = (x3)′ = 3x2 =
- 6. Определить первообразную функции f(x) = 3x2 1. F(x) = x3+1, т.к. F′(x) = (x3+1)′ = 3x2+0
- 7. Теорема 1 Функция f(x), имеет бесконечное множество первообразных вида F(x)+С.
- 8. Неопределённый интеграл f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение.
- 9. Свойства неопределённого интеграла
- 10. Теорема 2 Дифференциал интеграла функции равен подынтегральному выражению.
- 11. Теорема 3 Производная интеграла равна подынтегральной функции.
- 12. Теорема 4 Интеграл производной функции равен сумме этой функции с произвольной константой.
- 13. Теорема 5 Интеграл суммы равен сумме интегралов
- 14. Теорема 6 Постоянный множитель выносится за знак интеграла
- 15. Основные формулы интегрирования
- 16. Интеграл дифференциала аргумента
- 17. Интеграл степенной функции
- 18. Интеграл обратной пропорциональности
- 19. Интеграл экспоненциальной функции
- 20. Интеграл показательной функции
- 21. Интеграл функции косинуса
- 22. Интеграл функции синуса
- 23. Методы интегрирования Непосредственное интегрирование Метод подстановки (замены переменной) Метод интегрирования по частям
- 24. Непосредственное интегрирование Найти:
- 26. Метод подстановки (замены переменной) Найти:
- 27. Введение подстановки
- 29. Метод интегрирования по частям
- 30. Найти: Чтобы воспользоваться формулой необходимо выбрать функцию u и дифференциал dυ Пусть u = x и
- 31. Выберем функцию u и дифференциал dυ иначе: Пусть u = lnx и dυ = xdx. и
- 32. Образец оформления
- 34. Определённый интеграл Определённый интеграл функции y=f(x) есть число, значение которого зависит от вида этой функции и
- 35. Определённый интеграл f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, a – нижний предел интегрирования b
- 36. Формула Ньютона-Лейбница
- 37. Свойства определённого интеграла
- 38. Теорема 7 (аддитивность)
- 39. Теорема 8
- 40. Теорема 9
- 41. Теорема 10
- 42. Вычисление определённых интегралов Вычислить:
- 43. Вычисление определённых интегралов
- 44. Криволинейная трапеция плоская фигура, огра-ниченная линиями: y = f(x), y = 0 – ось абсцисс, x
- 45. Площадь криволинейной трапеции
- 46. Вычисление площадей плоских фигур Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
- 47. (кв.ед.).
- 48. Дифференциальные уравнения
- 49. Дифференциальное уравнение* – это уравнение, связывающее независимую переменную x, её функцию y, производные различных порядков этой
- 50. Решить ДУ – это значит, найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному ДУ: Такое множество функций
- 51. Обыкновенное ДУ* – это ДУ, которое имеет только одну независимую переменную (например, х или t). ДУ
- 52. Порядок* ОДУ – это порядок старшей производной: y’ + 1 = 0 – ОДУ первого порядка;
- 53. Решение ОДУ ОДУ: y’ = x2; Одно из решений: y = (1/3)⋅x3; Проверка: ((1/3)⋅x3)’ = (1/3)⋅(x3)’
- 54. Общее решение ОДУ – это множество решений, содержащее ВСЕ без исключения решения этого дифференциального уравнения.
- 55. Частное решение ОДУ – одно из множества решений ОДУ, удовлетворяющее изначально заданным дополнительным условиям: ОДУ: y’
- 56. Задача Коши – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.
- 57. ОДУ с разделяющимися переменными – это уравнение, которое возможно преобразовать таким образом, что правая часть будет
- 58. Пример 1 Найти общее решение ОДУ xy’ = y. Решение ОДУ происходит в несколько этапов:
- 59. Этап 1: расшифровка производной Запишем: y’ = dy/dx Тогда: xy’ = y ⇒ x⋅dy/dx = y;
- 60. Этап 2: разделение переменных x⋅dy/dx = y; По свойству пропорции, перенесём «крест-накрест» х и dx вправо,
- 61. Этап 3: интегрирование Найдём интегралы левой и правой частей уравнения: ∫(dy/y) = ∫(dх/x); ln|y| = ln|x|
- 62. Этап 4: нахождение y в явном виде Найдём общее решение (функцию y) в явном виде: ln|y|
- 63. Пример 2 (задача Коши) Найти частное решение дифференциального уравнения y’ = –2y, удовлетворяющее начальному условию y(0)
- 64. Этап 1: расшифровка производной Запишем: y’ = dy/dx Тогда: y’ = –2y ⇒ dy/dx = –2y;
- 65. Этап 2: разделение переменных dy/dx = –2y; По свойству пропорции, перенесём «крест-накрест» dx вправо, а y
- 66. Этап 3: интегрирование Найдём интегралы левой и правой частей уравнения: dy/y = dх; ∫(dy/y) = ∫(–2dх);
- 67. Этап 4: нахождение y в явном виде Найдём общее решение (функцию y) в явном виде: ln|y|
- 68. Этап 5: нахождение частного решения Найдём частное решение для y(0) = 2: При х = 0:
- 69. Итоги свойства интегралов; таблица неопределённых интегралов; методы интегрирования; формула Ньютона-Лейбница; дифференциальные уравнения; задача Коши.
- 70. Домашнее задание К практическому занятию №3: Теория – лекционный материал; Письменно – упражнения для самостоятельной работы.
- 72. Скачать презентацию