Интегрирование функции одной переменной

Август 2, 2022

Главная
Математика
Интегрирование функции одной переменной

Содержание

2. ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1.Первообразная и неопределенный интеграл 2.Своства интеграла, вытекающие из определения 3.Свойства интеграла 4. Таблица
3. Пусть X ⊂ R. Определение. Функция F(x), x ∈ X называется перво-образной для функции y =
4. Определение. Совокупность F(x) + С всех первообра-ных функции y = f(x) на множестве X называется неопределенным
5. СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал - подынтегральному
6. СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ
7. ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
9. СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ При интегрировании удобно пользоваться свойствами:
10. Во всех формулах этой таблицы в качестве и можно брать произвольную дифференцируемую функцию и = ϕ(х).
11. ПРИМЕР
12. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
13. 1. Непосредственное интегрирование – интегрирование с помощью свойств, тождественных преобразований подынтегральной функции и таблицы основных интегралов.
14. 2. Интегрирование разложением. Интегрирование разложением есть приведение данного интеграла к сумме более простых интегралов. Пример. Вычислить
15. 2. Интегрирование по частям. Теорема. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке и на
16. ПРИМЕР
17. ПРИМЕРЫ
18. 3. Замена переменной. Метод заключается в переходе к новому аргументу интегрирования путём преобразования подынтегрального выражения по
19. Замечание. Используя простейшую замену переменной, легко получить следующие формулы:
20. ПРИМЕР Вычислим
21. Определение. Число b (действительное или комплексное) называется корнем полинома Pn(x), если Pn(b) = 0. Теорема 1.
22. Рациональной дробью называется дробь вида Pm(x) /Qn(x), где Pm(x) и Qn(x) – многочлены степени т и
23. Теорема. Пусть Pm(x) /Qn(x) − правильная рациональная дробь, знаменатель которой представлен в виде произведения линейных и
24. АЛГОРИТМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель
25. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1. 2. 3. Можно преобразовать каждое из произведений под знаком интеграла в алгебраическую
26. II. Интегралы вида , где n и m – целые. 1. Если n и m –
27. Пример. Вычислить
28. III. , где R – рациональная функция . 1. Универсальная подстановка: ⇒ , 2. Упрощенные подстановки.
29. Интеграл вида , где m, n, p – рациональные числа выражается через элементарные функции только в
30. Интегралы вида , где Pn (x) – многочлен степени выше второй, в общем случае не выражается
31. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
32. Определение. Под определенным интегралом от данной непрерывной функции f(x) на данном отрезке [a,b] понимается соответствующее приращение
33. Пример. Найти интеграл от на отрезке [1; 3]. Решение.
34. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. Если a 6. Если f (x) ≥
36. Скачать презентацию

Слайд 2

ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1.Первообразная и неопределенный интеграл
2.Своства интеграла, вытекающие из определения
3.Свойства

интеграла
4. Таблица интегралов
5. Свойства дифференциалов
6. Методы интегрирования
7. Разложение полиномов на сомножители
8. Интегрирование дробно-рациональных функций
9. Интегрирование тригонометрических функций

Слайд 3

Пусть X ⊂ R.
Определение. Функция F(x), x ∈ X называется перво-образной

для функции y = f(x) на множестве X если она дифференцируема в каждой точке этого множества и F'(x)=f(x).
Теорема. Любая непрерывная на отрезке [a, b] функция y=f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).
Теорема. Если F1(x) и F2(x) – две различные первообразные одной и той же функции f(x) на множестве X, то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т.е.
F2(x) = F1(x) + С, где С – константа.

ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Слайд 4

Определение. Совокупность F(x) + С всех первообра-ных функции y = f(x)

на множестве X называется неопределенным интегралом функции y = f(x).
Обозначение.
при этом f(x) называют подынтегральная функция,
f(x) dx – подынтегральное выражение,
а – знак интеграла.
С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой однопараметрическое семейство кривых y = F(x) + С (С – параметр), обладающих следующим свойством: все касательные к кривой в точках с абсциссой x = x0 параллельны между собой.

Слайд 5

СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции,

а его дифференциал - подынтегральному выражению.

Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянной:
3.
так как является первообразной для

Слайд 6

СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ

Слайд 7

ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Слайд 8

Слайд 9

СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
При интегрировании удобно пользоваться свойствами:

Слайд 10

Во всех формулах этой таблицы в качестве и можно брать произвольную

дифференцируемую функцию и = ϕ(х).

Слайд 11

ПРИМЕР

Слайд 12

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Слайд 13

1. Непосредственное интегрирование – интегрирование с помощью свойств, тождественных преобразований подынтегральной

функции и таблицы основных интегралов.

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Слайд 14

2. Интегрирование разложением. Интегрирование разложением есть приведение данного интеграла к сумме

более простых интегралов.

Пример. Вычислить

Решение.

Слайд 15

2. Интегрирование по частям.
Теорема. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы

на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл , то на нем существует и интеграл , причем

Слайд 16

ПРИМЕР

Слайд 17

ПРИМЕРЫ

Слайд 18

3. Замена переменной. Метод заключается в переходе к новому аргументу интегрирования

путём преобразования подынтегрального выражения по некоторой формуле.
При этом говорят, что в интеграле слева сделана замена переменной (подстановка) по формуле
После вычисления интеграла справа необходимо в ответе вернуться снова к аргументу x, выразив t в формуле через х.

Пример. Вычислить

Слайд 19

Замечание. Используя простейшую замену переменной, легко получить следующие формулы:

Слайд 20

ПРИМЕР
Вычислим

Слайд 21

Определение. Число b (действительное или комплексное) называется корнем полинома Pn(x), если

Pn(b) = 0.
Теорема 1. Для того, чтобы b было корнем полинома Pn(x), необходимо и достаточно, чтобы Pn(x) делилось на (x – b).
Теорема 2. Пусть корень полинома b есть комплексное число. Тогда комплексно сопряженное число также является корнем этого полинома.
Основная теорема алгебры. Всякий полином степени п ≥ 1 имеет хотя бы один корень (действительный или комплексный).
Теорема 3. Полином степени п имеет ровно п корней.
Определение. Если в разложении Pn(x) на сомножители бином (x – b) повторяется k раз, то говорят, что корень b имеет кратность k.
Если k = 1, то корень называется простым.
Заметим еще, что в паре комплексно сопряженных корней оба корня имеют одинаковую кратность.

РАЗЛОЖЕНИЕ ПОЛИНОМОВ НА СОМНОЖИТЕЛИ

Слайд 22

Рациональной дробью называется дробь вида Pm(x) /Qn(x), где Pm(x) и Qn(x)

– многочлены степени т и п соответственно. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя (т < п), в противном случае дробь называется неправильной.
Простейшими элементарными дробями называются дроби следующего вида:
1. ;
2. , m > 1, целое;
3. , где квадратный трехчлен не имеет действительных корней;
4. , где квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Слайд 23

Теорема. Пусть Pm(x) /Qn(x) − правильная рациональная дробь, знаменатель которой представлен

в виде произведения линейных и квадратичных множителей (с вещественными коэффициентами)
Qn(x) = a (x − x1) α (x − x2) β …(x2 + p x + q)λ … (x2 + r x + s) μ ,
где x1, x2,… − вещественные корни, (x2 + p x + q), … (x2 + r x + s) − квадратные трехчлены, не разложимые на вещественные множители (α+…+ β+ λ +…+ μ = n ). Тогда имеет место разложение
где Ai , Bi , Mi , Ni , Ri , Si , … − вещественные числа (некоторые из которых могут быть равны нулю).

Слайд 24

АЛГОРИТМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
1. Если дробь неправильная, надо выделить целую

часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен.
2. Знаменатель Qn(x) разложим на простейшие сомножители:
Qn(x) = (x – a)k…(x – b)r (x2 + p x + q)l… (x2 + p x + q)s , где многочлены (x2 + p x + q) не имеют действительных корней.
3. Представим дробь Pm(x) /Qn(x) в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами:
где A1, A2, … ,Cs, Ds неопределенные коэффициенты, которые надо найти.
4. Приведем все дроби в разложении к общему знаменателю и приравняем числители в обеих частях равенства.
5. Составим систему уравнений, используя равенство многочленов, стоящих в числителе, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х.
6. Решим систему уравнений, находя некоторые коэффициенты методом частных значений, полагая x равным действительным корням знаменателя.
7. Подставим найденные коэффициенты A1, A2, … ,Cs, Ds в разложение дроби.
8. Проинтегрируем простейшие дроби.

Слайд 25

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1.
2.
3.
Можно преобразовать каждое из произведений под

знаком интеграла в алгебраическую сумму и проинтегрировать по табличным формулам.

I. Рассмотрим интегралы вида

Слайд 26

II. Интегралы вида , где n и m – целые.

1. Если n и m – четные, положительные, то применяются формулы понижения степени:
2. Если n или m – нечетное, то непосредственно отделяют от нечетной степени один множитель.
3. Если n и m – дробные или целые отрицательные и (n + m ) четное отрицательное, то замена t = tg x, иди t = сtg x.

Слайд 27

Пример. Вычислить

Слайд 28

III. , где R – рациональная функция .
1. Универсальная подстановка:

⇒ ,
2. Упрощенные подстановки.
a) Подстановка:
b) Подстановка:
c) Подстановка:
d) Подстановка:

Слайд 29

Интеграл вида , где m, n, p – рациональные числа
выражается

через элементарные функции только в следующих случаях:
1. p < 0 – целое ⇒ x = t s, d x = s t s-1 d t , s – нок знаменателей m и n;
2. – целое ⇒ , s – знаменатель дроби p= к/s, ;
3. – целое ⇒ , s – знаменатель дроби p= к/s,
.

ПОДСТАНОВКИ П.Л.ЧЕБЫШЕВА

Слайд 30

Интегралы вида , где Pn (x) – многочлен степени выше второй,

в общем случае не выражается через элементарные функции. При этом если n = 2 или n = 3, то они называются эллиптическими, п > 4, то ультра-эллиптическими.
Интегралы от трансцендентных функций:
1. – интеграл Пуассона;
2. , – интегральный синус, косинус;
3. , – интегральный логарифм;
4. , – интегралы Френеля и др.

«НЕБЕРУШИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ»

Слайд 31

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Слайд 32

Определение. Под определенным интегралом
от данной непрерывной функции f(x) на данном

отрезке [a,b] понимается соответствующее приращение ее первообразной, т.е.
– формула Ньютона-Лейбница.

Обозначение.
a и b - пределы интегрирования, соответственно – нижний и верхний.
[a,b] –промежуток интегрирования,
f(x) – подынтегральная функция.

Слайд 33

Пример. Найти интеграл от на отрезке [1; 3].
Решение.

Слайд 34

1. .
2. .
3. .
4. .
5. Если a < c <

b , то .
6. Если f (x) ≥ 0 ∀∈ [a ,b] , a < b, то .

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕНОГО ИНТЕГРАЛА

Интегрирование функции одной переменной

Содержание

ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ1.Первообразная и неопределенный интеграл 2.Своства интеграла, вытекающие из определения3.Свойства

Пусть X ⊂ R. Определение. Функция F(x), x ∈ X называется перво-образной

Определение. Совокупность F(x) + С всех первообра-ных функции y = f(x)

СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции,

СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ

ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ При интегрировании удобно пользоваться свойствами:

Во всех формулах этой таблицы в качестве и можно брать произвольную

ПРИМЕР

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1. Непосредственное интегрирование – интегрирование с помощью свойств, тождественных преобразований подынтегральной

2. Интегрирование разложением. Интегрирование разложением есть приведение данного интеграла к сумме

2. Интегрирование по частям. Теорема. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы

ПРИМЕР

ПРИМЕРЫ

3. Замена переменной. Метод заключается в переходе к новому аргументу интегрирования

Замечание. Используя простейшую замену переменной, легко получить следующие формулы:

ПРИМЕР Вычислим

Определение. Число b (действительное или комплексное) называется корнем полинома Pn(x), если

Рациональной дробью называется дробь вида Pm(x) /Qn(x), где Pm(x) и Qn(x)

Теорема. Пусть Pm(x) /Qn(x) − правильная рациональная дробь, знаменатель которой представлен

АЛГОРИТМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 1. Если дробь неправильная, надо выделить целую

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1. 2. 3. Можно преобразовать каждое из произведений под

II. Интегралы вида , где n и m – целые.

Пример. Вычислить

III. , где R – рациональная функция . 1. Универсальная подстановка:

Интеграл вида , где m, n, p – рациональные числа выражается

Интегралы вида , где Pn (x) – многочлен степени выше второй,

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определение. Под определенным интегралом от данной непрерывной функции f(x) на данном

Пример. Найти интеграл от на отрезке [1; 3].Решение.

1. .2. .3. .4. . 5. Если a < c <

Похожие презентации

ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1.Первообразная и неопределенный интеграл
2.Своства интеграла, вытекающие из определения
3.Свойства

Пусть X ⊂ R.
Определение. Функция F(x), x ∈ X называется перво-образной

СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛОВ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции,

СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
При интегрировании удобно пользоваться свойствами:

2. Интегрирование по частям.
Теорема. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы

ПРИМЕР
Вычислим

АЛГОРИТМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
1. Если дробь неправильная, надо выделить целую

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1.
2.
3.
Можно преобразовать каждое из произведений под

III. , где R – рациональная функция .
1. Универсальная подстановка:

Интеграл вида , где m, n, p – рациональные числа
выражается

Определение. Под определенным интегралом
от данной непрерывной функции f(x) на данном

Пример. Найти интеграл от на отрезке [1; 3].
Решение.

1. .
2. .
3. .
4. .
5. Если a < c <