Кривые второго порядка Лекция 11

Август 31, 2022

Главная
Математика
Кривые второго порядка Лекция 11

Содержание

2. Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат х и у.
3. Окружность Окружностью называетсяся множество точек плоскости, равноудаленных от одной и той же точки плоскости, называемой центром
4. Эллипс Эллипсом называется геометрическое место точек (плоскости), сумма расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами
7. Уравнение эллипса
8. Эллипс
9. Оси симметрии эллипса называются его осями, точка их пересечения- центром эллипса, ось, на которой находятся фокусы
10. Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Это точки с координатами Числа называются полуосями
11. Отношение , называется эксцентриситетом эллипса и характеризует его форму, ничего не говоря о его размерах. Чем
12. Замечание Если ,то фокальной осью является Фокусы :
13. Гипербола Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек плоскости, называемых фокусами,
14. X Y Y M У
15. Уравнение гиперболы
16. Гипербола
17. Из уравнения гиперболы видно, что точек пересечения с осью Оу нет. Ось Ох называют действительной осью,
18. Основной прямоугольник гиперболы Прямоугольник, проходящий через точки со сторонами, параллельными осям координат, называется основным прямоугольником гиперболы.
19. Для гиперболы Фокусы гиперболы :
20. Оси и полуоси гиперболы Принято говорить: и - действительная и мнимая оси и - действительная и
21. Асимптоты Гипербола имеет две асимптоты, т. е. прямые, к которым приближаются точки этой кривой при неограниченном
22. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы и является мерой ее «сплюснутости», т. е. чем меньше эксцентриситет, тем меньше
23. Замечание Для гиперболы -мнимая ось ,а -действительная ось
24. Парабола Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки плоскости, называемой фокусом, и данной прямой,
25. Если расположить ось Ох перпендикулярно директрисе и провести ее через фокус в направлении от директрисы к
26. Парабола
27. Фокус параболы - , вершина параболы – в точке директриса параболы это прямая
28. Парабола
29. Фокус этой параболы вершина такой параболы находится в точке , директриса параболы- это прямая
30. Самостоятельно изучить параболы
31. Общее уравнение кривой второго порядка Уравнение кривой второго порядка может иметь вид В простейшем случае при
32. Пример Привести уравнение 2х²+3у²-16х-64=0 кривой второго порядка к каноническому виду и найти ее центр, полуоси, эксцентриситет,
33. Для того чтобы привести уравнение кривой к каноническому виду, выделим полный квадрат переменной х. Для этого
34. Это каноническое уравнение эллипса. Полуоси этого эллипса соответственно равны: . Центр эллипса находится в точке С(4;0).
35. Пример Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее фокусами равно 26, а эксцентриситет равен
36. Тогда малая полуось Уравнение гиперболы имеет вид
37. Пример Составить уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами ее равно 20, а расстояние между фокусами равно
38. 0 Изобразим гиперболу. Для этого построим основной прямоугольник, где 0 -10 10
40. Скачать презентацию

Слайд 2

Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

текущих координат х и у.

Слайд 3

Окружность
Окружностью называетсяся множество точек плоскости, равноудаленных от одной и той

же точки плоскости, называемой центром окружности.
Уравнение окружности

Слайд 4

Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек (плоскости), сумма расстояний которых от

двух данных точек, называемых фокусами этого эллипса, есть величина постоянная.

Слайд 5

Слайд 6

Слайд 7

Уравнение эллипса

Слайд 8

Эллипс

Слайд 9

Оси симметрии эллипса называются его осями, точка их пересечения- центром

эллипса, ось, на которой находятся фокусы (в данном случае это ось абсцисс) называется фокальной осью.

Слайд 10

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Это

точки с координатами
Числа называются полуосями эллипса.

Слайд 11

Отношение ,
называется эксцентриситетом эллипса и характеризует его форму, ничего

не говоря о его размерах. Чем меньше эксцентриситет, тем меньше подкоренное выражение в числителе дроби, тем меньше малая полуось отличается от большой и , значит, тем меньше эллипс вытянут вдоль фокальной оси.

Слайд 12

Замечание

Если ,то фокальной осью является
Фокусы :

Слайд 13

Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух

данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Слайд 14

X
Y
Y
M
У

Слайд 15

Уравнение гиперболы

Слайд 16

Гипербола

Слайд 17

Из уравнения гиперболы видно, что точек пересечения с осью Оу

нет. Ось Ох называют действительной осью, а ось Оу – мнимой осью гиперболы. Гипербола имеет две вершины, лежащие на фокальной оси. Это точки
и

Слайд 18

Основной прямоугольник гиперболы

Прямоугольник, проходящий через точки
со сторонами, параллельными осям

координат, называется основным прямоугольником гиперболы.

Слайд 19

Для гиперболы
Фокусы гиперболы :

Слайд 20

Оси и полуоси гиперболы
Принято говорить:
и - действительная и

мнимая оси
и - действительная и мнимая
полуоси
- фокальная ось

Слайд 21

Асимптоты
Гипербола имеет две асимптоты, т. е. прямые, к которым

приближаются точки этой кривой при неограниченном их удалении от начала координат вдоль по гиперболе в бесконечность. Их уравнения

Слайд 22

Отношение
называется эксцентриситетом гиперболы и является мерой ее «сплюснутости»,

т. е. чем меньше эксцентриситет, тем меньше отношение полуосей гиперболы, а, значит, тем сильнее вытянут ее основной прямоугольник

Слайд 23

Замечание

Для гиперболы
-мнимая ось ,а -действительная ось

Слайд 24

Парабола
Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки плоскости,

называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Слайд 25

Если расположить ось Ох перпендикулярно директрисе и провести ее через

фокус в направлении от директрисы к фокусу, обозначив при этом расстояние от фокуса до директрисы р, то можно показать, что в этом случае уравнение параболы будет иметь вид:
а если через фокус провести ось Оу, то уравнение имеет вид:

Слайд 26

Парабола

Слайд 27

Фокус параболы - , вершина параболы – в точке директриса параболы

это прямая

Слайд 28

Парабола

Слайд 29

Фокус этой параболы вершина такой параболы находится в точке , директриса параболы-

это прямая

Слайд 30

Самостоятельно изучить параболы

Слайд 31

Общее уравнение кривой второго порядка
Уравнение кривой второго порядка может

иметь вид
В простейшем случае при В=0 можно определить тип кривой, определяемой общим уравнением, выделяя полные квадраты переменных и сводя общее уравнение к каноническому уравнению той или иной кривой.

Слайд 32

Пример
Привести уравнение 2х²+3у²-16х-64=0 кривой второго порядка
к каноническому виду

и найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, и, если кривая имеет асимптоты, уравнения асимптот.

Слайд 33

Для того чтобы привести уравнение кривой к каноническому виду, выделим

полный квадрат переменной х. Для этого произведем преобразования:
2(х²-8х)+3у²-64=0;
2(х²-8х+16-16)+3у²-64=0.
2((х-4)²-16)+3у²-64=0;
2(х-4)²+3у²-32-64=0; 2(х-4)²+3у²=96. Разделим теперь обе части уравнения на 96 и получим уравнение

Слайд 34

Это каноническое уравнение эллипса. Полуоси этого эллипса соответственно равны:

.
Центр эллипса находится в точке С(4;0). Эксцентриситет находят по формуле .

Слайд 35

Пример
Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее фокусами

равно 26, а
эксцентриситет равен
Решение. По условию 2с = 26,
Следовательно, большая полуось гиперболы

Слайд 36

Тогда малая полуось
Уравнение гиперболы имеет вид

Слайд 37

Пример
Составить уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами ее равно

20, а расстояние между фокусами равно 30.
Решение. 2с=30, т.е. с=15. Тогда
а уравнение гиперболы имеет вид

Слайд 38

Кривые второго порядка Лекция 11

Содержание

Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

Окружность Окружностью называетсяся множество точек плоскости, равноудаленных от одной и той

Эллипс Эллипсом называется геометрическое место точек (плоскости), сумма расстояний которых от

Уравнение эллипса

Эллипс

Оси симметрии эллипса называются его осями, точка их пересечения- центром

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Это

Отношение , называется эксцентриситетом эллипса и характеризует его форму, ничего

Замечание Если ,то фокальной осью являетсяФокусы :

Гипербола Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух

XYYMУ

Уравнение гиперболы

Гипербола

Из уравнения гиперболы видно, что точек пересечения с осью Оу

Основной прямоугольник гиперболы Прямоугольник, проходящий через точкисо сторонами, параллельными осям

Для гиперболы Фокусы гиперболы :

Оси и полуоси гиперболы Принято говорить: и - действительная и

Асимптоты Гипербола имеет две асимптоты, т. е. прямые, к которым

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы и является мерой ее «сплюснутости»,

Замечание Для гиперболы -мнимая ось ,а -действительная ось

Парабола Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки плоскости,

Если расположить ось Ох перпендикулярно директрисе и провести ее через

Парабола

Фокус параболы - , вершина параболы – в точке директриса параболы

Парабола

Фокус этой параболы вершина такой параболы находится в точке , директриса параболы-

Самостоятельно изучить параболы

Общее уравнение кривой второго порядка Уравнение кривой второго порядка может

Пример Привести уравнение 2х²+3у²-16х-64=0 кривой второго порядка к каноническому виду

Для того чтобы привести уравнение кривой к каноническому виду, выделим

Это каноническое уравнение эллипса. Полуоси этого эллипса соответственно равны:

Пример Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее фокусами

Тогда малая полуось Уравнение гиперболы имеет вид

Пример Составить уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами ее равно

0 Изобразим гиперболу. Для этого построим основной прямоугольник, где 0-1010

Похожие презентации

Окружность
Окружностью называетсяся множество точек плоскости, равноудаленных от одной и той

Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек (плоскости), сумма расстояний которых от

Отношение ,
называется эксцентриситетом эллипса и характеризует его форму, ничего

Замечание

Если ,то фокальной осью является
Фокусы :

Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух

X
Y
Y
M
У

Основной прямоугольник гиперболы

Прямоугольник, проходящий через точки
со сторонами, параллельными осям

Для гиперболы
Фокусы гиперболы :

Оси и полуоси гиперболы
Принято говорить:
и - действительная и

Асимптоты
Гипербола имеет две асимптоты, т. е. прямые, к которым

Отношение
называется эксцентриситетом гиперболы и является мерой ее «сплюснутости»,

Замечание

Для гиперболы
-мнимая ось ,а -действительная ось

Парабола
Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки плоскости,

Общее уравнение кривой второго порядка
Уравнение кривой второго порядка может

Пример
Привести уравнение 2х²+3у²-16х-64=0 кривой второго порядка
к каноническому виду

Пример
Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее фокусами

Тогда малая полуось
Уравнение гиперболы имеет вид

Пример
Составить уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами ее равно

0
Изобразим гиперболу. Для этого построим основной прямоугольник, где
0
-10
10