Математическое моделирование. (Лекция 3)

обработки информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3.
Математическое моделирование

§0. «Вопрос науки. Игры разума»
§1. О моделировании
§2. Математическое моделирование
§3. Примеры линейных моделей
§4. Примеры оптимизационных моделей

обработки информации
лектор Макеева О.В.

«Вопрос науки. Игры разума»

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Трусов Пётр Валентинович
российский учёный-физик, д.ф.-м.н., специалист в области механики сплошных сред. Автор учебных пособий для студентов ВУЗов по механике сплошных сред, теории определяющих соотношений и математическому моделированию.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

При метафизическом подходе объекты рассматриваются изолированно, без учёта их взаимосвязи, как бы в застывшем, неизменном состоянии.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Диалектический подход предполагает изучение объектов с учётом реальных процессов взаимодействия, изменения, развития. С середины 19-го века метафизический метод вытесняется из естествознания диалектическим методом.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Общенаучные методы имеют междисциплинарный спектр применения. При этом различают два уровня научного познания:

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

эмпирический уровень познания характеризуется непосредственным исследованием реально существующих, чувственно воспринимаемых объектов;
теоретический уровень – более высокая ступень научного познания, на котором формируются гипотезы, теории, законы.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Частнонаучные методы используются лишь в рамках какой-либо конкретной науки.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Моделирование – метод познания окружающего мира, который можно отнести к общенаучным методам, применяемым как на эмпирическом, так и теоретическом уровне познания.

Модель (от лат. modulus – мера, образец, норма) – материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе изучения замещает объект – оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты.
Процесс построения и использования модели называется моделированием.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Виды моделирования

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Взаимосвязь моделей

Когнитивной моделью называется мысленный образ объекта, возникающий у исследователя при наблюдении за объектом-оригиналом.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Взаимосвязь моделей

Представление модели на естественном языке называется содержательной моделью.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Взаимосвязь моделей

По функциональному признаку модели делят на описательные, объяснительные и прогностические.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Взаимосвязь моделей

Концептуальной принято называть содержательную модель при формулировке которой используются понятия предметной области, которой принадлежит объект моделирования.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Взаимосвязь моделей

Логика семантическая модель использует при описании логически непротиворечивые утверждения и факты.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Взаимосвязь моделей

Структурно-функциональная модель рассматривает объект как целостную систему, в которой выделены подсистемы и отдельные элементы.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Взаимосвязь моделей

Причинно-следственная модель ориентирована на выявление взаимосвязей между элементами объекта.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Взаимосвязь моделей

Формальная модель предполагает использование одного или нескольких формальных языков (язык математической теории, алгоритмический язык, универсальный язык моделирования).

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Взаимосвязь моделей

В гуманитарных науках процесс моделирования заканчивается на этапе создания концептуальной модели. В естественно-научных дисциплинах удаётся построить формальную модель; при этом когнитивные, содержательные и формальные модели представляют три взаимосвязанных уровня моделирования.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Взаимосвязь моделей

Информационные модели представляют, по существу, автоматизированные справочники; они позволяют по запросу найти информацию в базе данных, однако не могут генерировать новое знание.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Виды моделирования

Математическое моделирование – идеальное, научное, знаковое моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследования модели проводятся с использованием математических методов.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей
в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

Модели объектов- систем, учитывающие свойства и поведение отдельных элементов, а также взаимосвязи между ними называют структурными.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

Структурную модель называют имитационной, если каждый элемент имеет конечное число состояний.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

Оператор модели можно понимать и как некую функцию, связывающее входные и выходные параметры; так и некий алгоритм, обеспечивающий нахождение выходных параметров по заданным исходным значениям.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

В зависимости от вида используемых множеств параметров модели могут быть качественные и количественные, дискретные и непрерывные, а также смешанные.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

Детерминированные модели характеризуются определённостью всех параметров.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

В стохастических моделях значения всех или некоторых параметров определяются случайными величинами, заданными плотностями вероятности.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

В стохастических моделях значения всех или некоторых параметров определяются случайными величинами, заданными оценками плотностей вероятности, которые получены в результате обработки ограниченной экспериментальной выборки.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

При интервальном характере параметров известен их диапазон, заданный минимальным и максимальным значениями.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

Нечёткий характер параметров означает, что все или отдельные параметры описываются функциями принадлежности соответствующему нечёткому множеству.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

Модели среди параметров которых есть координаты пространства делят на одномерные, двумерные и трёхмерные.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

Если при исследовании объекта необходим учёт времени, то модель называют динамической.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

В случае, когда в каждой фиксированной точке пространства значения параметров модели не зависят от времени, процесс называют стационарным (установившимся).

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

Если время является одной из существенных независимых переменных модели, то модель называется нестационарной.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

Если скорость изменения внешних воздействий на объект моделирования существенно меньше скорости релаксации, то явной зависимостью от времени можно пренебречь и говорят о квазистатическом процессе.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

Если выходные параметры можно получить в виде аналитических выражений, то говорят об аналитической модели.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

Частным случаем аналитических выражений являются алгебраические, в которых используются арифметические операции, операции возведения в степень и извлечения корня.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

Аналитическое решение модели можно представить в элементарных функциях, значения которых иногда находят приближенно с помощью рядов.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

При численном подходе совокупность математических соотношений заменяется конечномерным аналогом.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

При имитационном моделировании
на отдельные элементы разбивается сам объект исследования.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Этапы построения математической модели

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Этапы построения математической модели

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Этапы построения математической модели

информации
лектор Макеева О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Этапы построения математической модели

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Этапы построения математической модели

§2. Математическое моделирование

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Этапы построения математической модели

§2. Математическое моделирование

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Этапы построения математической модели

§2. Математическое моделирование

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Этапы построения математической модели

§2. Математическое моделирование

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Этапы построения математической модели

§2. Математическое моделирование

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Этапы построения математической модели

§2. Математическое моделирование

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Этапы построения математической модели

§2. Математическое моделирование

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Этапы построения математической модели

§2. Математическое моделирование

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Этапы построения математической модели

§2. Математическое моделирование

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

Этапы построения математической модели

§2. Математическое моделирование

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

§3. Примеры линейных моделей

Абатурова Вера Сергеевна
к.п.н.; зав. отделом образовательных и информационных технологий Южного математического института Владикавказского научного центра РАН;
директор ВЦНМО

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

§3. Примеры линейных моделей Система уравнений

а - количество единиц травы, которое было на лугу первоначально;
b - количество единиц травы, которое ежедневно вырастает на лугу;
с - количество единиц травы, которое ежедневно съедает одна корова.

Ответ: 20 коров.

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

§3. Примеры линейных моделей Система уравнений

а - количество единиц травы, которое было на лугу первоначально;
b - количество единиц травы, которое ежедневно вырастает на лугу;
с - количество единиц травы, которое ежедневно съедает одна корова.

Ответ: 20 коров.

1. Выбор переменных.

2. Запись ограничений на переменные.

3. Формулировка требований задачи на языке математики (с помощью переменных).

4. Решение математической задачи.

5. Интерпретация результатов. Запись ответа.

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

§3. Примеры линейных моделей Система неравенств

х – вес купленных слив (кг);
у – вес купленных яблок (кг).

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

§3. Примеры линейных моделей Система неравенств

х – вес купленных слив (кг);
у – вес купленных яблок (кг).

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

§4. Примеры оптимизационных моделей Линейное программирование

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

§4. Примеры оптимизационных моделей Линейное программирование

х1 – вес картофеля, который покупается у поставщика А (т);
х2 – вес картофеля, который покупается у поставщика В (т).

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

§4. Примеры оптимизационных моделей Линейное программирование

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

§4. Примеры оптимизационных моделей Линейное программирование

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

§4. Примеры оптимизационных моделей Брахистохрона

Оптико—механическая аналогия:
в задаче о преломлении света и в данной задаче минимизируется «взвешенная» сумма длин.

Брахистохрона – кривая наискорейшего спуска

О.В.

Лекция 3. Математическое моделирование

§4. Примеры оптимизационных моделей Циклоида