Методы аппроксимации, интерполяции, экстраполяции в математическом пакете Mathcad. (Лекция 4)

близкими к исходным (в частности, приближенное выражение сложной функции с помощью более простых).

φ (x) так, чтобы отклонение функции φ (x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция φ (х) при этом называется аппроксимирующей.

интерполяции, и значения некоторой функции f(x)  в этих точках

Простейшая задача интерполяции

f(x0) = y0, f(x1) =  y1,  . . .,  f(xn) = yn.

Требуется построить функцию F (х) (интерполяционная функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т. е. такую, что

F(x0) = y0, F(x1) =  y1,  . . ., F(xn) = yn.

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = F (х) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M(xi, yi) (i = 0, 1, ..., n)

совсем не иметь решений.

yi) (i = 0, 1, ..., n) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(x) приближается к ломаной с вершинами в данных точках

Уравнения каждого отрезка ломаной линии в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов (xi , xi + 1), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного полинома используется уравнение прямой, проходящей через две точки.

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента x, а затем подставить его в формулу и найти приближенное значение функций в этой точке.

Линейная интерполяция

В частности, для i - го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (xi , yi) и (xi + 1, yi + 1), в виде:

прямыми линиями (соединяет точки данных отрезками прямых, создавая таким образом ломаную). Это выполняется функцией linterp.

Основные идеи теории кубических сплайнов сформировались в результате попыток математически описать гибкие рейки из упругого материала (механические сплайны), которыми издавна пользовались чертежники в тех случаях, когда возникала необходимость проведения через заданные точки достаточно гладкой кривой. Известно, что рейка из упругого материала, закрепленная в некоторых точках и находящаяся в положении равновесия, принимает форму, при которой ее энергия является минимальной.

Кубическая сплайн-интерполяция

Теория сплайнов - новый раздел современной вычислительной математики, интенсивно развивающийся в последние годы.

Линейная интерполяция, по существу, является простейшим сплайном первой степени, квадратичная интерполяция - второй.

Сплайны позволяют эффективно решать задачи обработки экспериментальных зависимостей между параметрами, имеющих достаточно сложную структуру.

Это фундаментальное свойство позволяет эффективно использовать сплайны при решении практических задач обработки экспериментальной информации.

y = φ (x) таким образом, чтобы f (xi) = φ (xi) в точках x = xi, a в остальных точках отрезка [a, b] значения функций f(x) и φ (x) были близкими между собой.

первые и вторые производные кривой непрерывны в каждой точке. Кривая образуется путем создания ряда кубических полиномов, проходящих через наборы из трех смежных точек. Кубические полиномы затем состыковываются друг с другом, чтобы образовать одну кривую.

interp(vs, vx, vy, x) - возвращает интерполируемое значение y, соответствующее аргументу x. Вектор vs вычисляется на основе векторов данных vx и vy по одной из функций pspline, lspline или cspline.

координаты x и y, через которые нужно провести кубический сплайн. Элементы vx должны быть расположены в порядке возрастания.

Вычислить вектор vs = cspline(vx,vy). Вектор vs содержит вторые производные интерполяционной кривой в рассматриваемых точках. Чтобы найти интерполируемое значение в произвольной точке x0 , вычислите
interp(vs, vx, vy, x0) , где vx, vy - векторы, описанные ранее.

или

Вычислить interp(cspline(vx, vy),vx, vy, x0)

соответствую-щих вектору заданных точек. Это можно сделать и с interp, и с linter.

Интерполяция вектора точек

На примере показано, как выполнить эту операцию. Чтобы применить оператор векторизации к функции, щелкните мышью на имени функции и нажимайте клавишу пробел, пока в рамку не попадет нужная функция. Затем нажмите Ctrl + - (минус).

вне области расположения сетки, на которой заданы значения функции. Эта функция использует линейный алгоритм предсказания, который является полезным, когда экстраполируемая функция является гладкой и осциллирующей, хотя не обязательно периодической. Линейное предсказание можно рассматривать как разновидность экстраполяции, но нельзя путать с линейной или полиномиальной экстраполяцией.

Линейное предсказание (экстраполяция)

представительность сложных графиков функций, в том числе и контурных.

одномерном случае, но теперь нужно определить сетку узлов, через которые должна пройти поверхность.