Методы проверки ответа решенной задачи

скоростью V0 под углом α к горизонту. Найти максимальную высоту подъема камня. Предположим, что при решении этой задачи был получен следующий ответ:
(1)
Правилен ли он? Нетрудно видеть, что размерности величин слева и справа от знака равенства в формуле не совпадают, действительно:

Ответ очевидно неверен. В формуле (1) допущена ошибка – скорость должна быть в квадрате:
(2)
Теперь размерность слева и справа совпадает, но это еще не означает, что ответ правилен!

три параметра: начальная скорость V0, угол α, и ускорение свободного падения g. Можно ли заранее сказать ответ при каких-то определенных значениях параметров (в предельных случаях)? Предположим, что начальная скорость V уменьшается и стремится к нулю. Чему должна быть равна в этом случае высота подъема? Очевидно, должна стремиться к нулю. Следует это из нашей формулы? Да!
Предположим теперь, что угол α уменьшается и стремится к нулю. Чему должна быть равна в этом случае высота подъема? Очевидно, тоже должна стремиться к нулю. А вот это не следует из нашей формулы! Значит зависимость высоты от угла бросания описывается нашей формулой неправильно! Формула (2) предсказывает также еще один абсурд – при броске вертикально вверх (α = π/2) высота подъема равна нулю! В нашей формуле есть еще одна ошибка – вместо косинуса там должен быть синус:
(3)

что по размерности все сходится и предельные случаи качественно дают правильный результат. В формуле пропущен численный коэффициент. Обычно обнаружить такую ошибку не просто. Но в нашем случае мы ее поймаем! Для этого рассмотрим такой предельный случай: камень бросают вертикально вверх (α = π/2). В этом частном случае решение задачи легко найти энергетическим способом – с помощью закона сохранения энергии – начальная кинетическая энергия камня полностью переходит в потенциальную: откуда:
(4)
Теперь видно, что в формуле (3) пропущена двойка в знаменателе, ведь эта формула в предельном случае α = π/2 должна совпадать с последним решением (4)!
Правильный ответ выглядит так:

Анализ предельных случаев (продолжение)

В оглавление

пункт В так, что первую половину пути его скорость равна V1, а вторую половину – V2. Требуется найти среднюю скорость движения автомобиля на всем пути от А до В. Предположим, что в задаче получен следующий ответ :
Проверим этот ответ по размерности – очевидно все в порядке – скорость равна скорости.
Рассмотрим предельные случай V1 = V2 = V. Средняя скорость при этом должна быть также V. И это следует из нашей формулы. Пусть V1 => 0, тогда и средняя скорость V должна стремиться к нулю. И это получается из нашего ответа. Однако, все же он не верен! В условии задачи есть симметрия. Что если заменить V1 на V2? Какая разница в том что автомобиль первую половину пути ехал быстро, а вторую половину медленно или наоборот? Никакой! Значит ответ не должен изменяться при замене V1 на V2. Но у нас он меняется, значит формула не верна! Правильный ответ выглядит так: