Перестановки и размещения

Упорядоченные множества. Перестановки и размещения

Множество называется упорядоченным. Если каждому элементу множества

Варианты перестановок множества

Пусть задано множество А из n – элементов, а

Примеры

Задача 1. Сколькими способами можно поставить 4 книги на полке.
Задача 2.

Перестановки данного множества

Задача 3. Сколько можно составить перестановок из n элементов,

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 3

Шаг 1.Определим число перестановок, в которых a и b

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 3

Шаг 5. Таким образом число перестановок в которых a

Задача

Задача 4. Сколькими способами можно расположить 8 ладей на шахматной доске

Задача 4

Ответ: n! = 8! = 40320

Упорядоченные подмножества данного множества

Задано множество А.
ВОПРОС: Сколько можно получить упорядоченных подмножеств

Упорядоченные подмножества данного множества

ТЕОРЕМА: Число упорядоченных k- элементных подмножеств множества из

Задача 5

Сколько способов размещения 4 студентов на 25 местах.

Ответ задачи 5

Задача 6

Студенту необходимо сдать 4 экзамена в течении 8 дней. Сколько

Ответы задачи 6

1

2

Перестановки с повторениями

ВОПРОС: Сколько способов разложения множества А, состоящего из n

Перестановки с повторениями

Согласно правила умножения количество возможных перестановок равно:

ИЗ этого получается

ТЕОРЕМА

А именно, сколько можно составить слов из заданного алфавита?

Полиномиальные коэффициенты

ЗАДАЧА 7. Число слов, которые можно получить из перестановки букв

Ответ задачи 7

ОТВЕТ 10!/(2!*3!*2!)=151200

Задача 8. Число слов, которые можно составить из 12 букв (4

Ответ на задачу 8

12! / (4!*4!*2!*2!) = 207900

Взаимно-однозначное соответствие

Пусть заданы два множества А и B.
Будем считать, что между

Взаимно-однозначное соответствие?

ПРИМЕР 1. А – множество студентов
B – множество парт.

Взаимно-однозначное соответствие?

ПРИМЕР 2: А – множество жителей г. Владимира. В –

ПРИМЕР 3. Каждому элементу упорядоченного множества А из n элементов, соответствует

Эквивалентность множеств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Множества, для которых существует взаимно-однозначное соответствие называются эквивалентными.
ТЕОРЕМА.
Для

Эквивалентность множеств

Эквивалентность множеств

Использование следствия эквивалентности для вычисления числа
Элементов множества.

Сочетания с повторениями

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сочетаниями из m элементов по n элементам с

Теорема вычисления сочетаний с повторениями

Ответ: aa,ac,bc,ab,bb,сс – итого 6.
ТЕОРЕМА. Число различных

Задача 7

Кости домино можно рассматривать как сочетание с повторениями по два

Задача 8

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные

Бином Ньютона

Равенство 1 называют биномом Ньютона

Биноминальный коэффициент

Бином Ньютона

Формулу бинома Ньютона можно свернуть до вида:

Треугольник Паскаля

Бесконечная таблица
Биномиальных
коэффициентов

Закономерности треугольника Паскаля

Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
В строке с

Полиномиальная теорема

Полиномиальная теорема и бином Ньютона

Это и есть бином Ньютона