Плоскость и прямая в пространстве Лекция 10

Определение. Уравнением поверхности в пространстве называется такое уравнение между переменными

Назовем нормалью к плоскости вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Обозначают

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку

Пусть точки и лежат на

М

М

общее уравнение плоскости

Из предыдущего уравнения легко получить общее

Частные случаи общего уравнения

1.
плоскость проходит через начало координат.
2.

Уравнение в отрезках

Перенесем свободный член в правую часть уравнения

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть точки , ,

Запишем координаты векторов:
Эти векторы компланарны, т.к. лежат в
одной плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Взаимное расположение плоскостей

Угол между плоскостями

Даны две плоскости и :
Тогда:

Условие перпендикулярности плоскостей

Если плоскости перпендикулярны друг к другу, то соответственно

Условие параллельности плоскостей

Если плоскости параллельны друг к другу, то соответственно параллельны

Расстояние от точки до плоскости

Пример

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки

.

Решение

В уравнение плоскости, проходящей через три точки, подставим координаты

Прямая в пространстве.

M

M

Канонические уравнения прямой.

-направляющий вектор
прямой, -точка прямой. Тогда

Параметрические уравнения (вывести самостоятельно)
t-переменный параметр.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Точки и
лежат на прямой. Вывод уравнения сделать

Общее уравнение прямой

Прямая линия в пространстве определяется как линия

каждое уравнение отдельно- это уравнение плоскости, которые пересекаются по прямой.

Пример

Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями
Решение. Найдем точку на

Сложив уравнения, получим
Тогда из второго уравнения
Точка на

Найдем направляющий вектор этой прямой:
Получим канонические уравнения прямой

Взаимное расположение прямых в пространстве

Угол между прямыми

Угол между прямыми равен углу между их направляющими

Параллельность прямых

Если то

Перпендикулярность прямых
Если то

Взаимное расположение прямой и плоскости

Угол между прямой и плоскостью

φ

Углом между прямой и плоскостью
называется угол между прямой

Угол между прямой и плоскостью

-нормаль плоскости П,
-направляющий вектор

Условие параллельности прямой и плоскости
Если то

Условие перпендикулярности прямой и плоскости
Если то

Точка пересечения прямой и плоскости

Пусть требуется найти точку пересечения прямой

Получим уравнение вида
относительно параметра t. Выразив t из

Замечание. Если уравнение относительно t примет вид 0t = 0

Пример

Найти точку пересечения прямой
и плоскости

Пример

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1;2;0) и В(2;1;1) перпендикулярно

Пример

Показать, что прямая
лежит в плоскости
Решение. Используем параметрические

Подставим в уравнение плоскости: -
Получили равенство, верное при любых